Soluciones a los problemas Olimpiada de Matemáticas Fase local Extremadura Enero de 2015


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1 Olimpiada atemática Española RSE Soluciones a los problemas Olimpiada de atemáticas Fase local Extremadura Enero de lrededor de una mesa circular están sentadas seis personas. ada una lleva un sombrero. Entre cada dos personas hay una mampara de modo que cada una puede ver los sombreros de las tres que están enfrente, pero no puede ver el de la persona de su izquierda ni el de la de su derecha ni el suyo propio. Todas saben que tres de los sombreros son blancos y tres negros. También saben que cada una de ellas es capaz de obtener cualquier deducción lógica que sea factible. Empezamos por una de las seis personas y le preguntamos puedes deducir el color de algún sombrero de los que no ves?. Una vez que ha respondido (todas oyen la respuesta), pasamos a la persona de su izquierda y le hacemos la misma pregunta, y así sucesivamente. Demuestra que una de las tres primeras responderá Sí. D F E Supongamos que D = E. En ese caso, el jugador termina si, y sólo si, es del mimo color que D y E, luego, si el turno pasa al jugador, éste deducirá que el color de (que no ve) es el opuesto al de D y E (que sí ve), y termina. Por lo tanto y en general, para que el turno llegue al jugador es necesario que D E y, en tal caso, el jugador deduce que el color de D (que no ve) es el opuesto al de E (que sí ve), y termina. En la corrección de este problema, que ha sido resuelto por varios participantes, se ha valorado positivamente la claridad de la redacción. 2. El triángulo es isósceles en, y sea Γ su circunferencia circunscrita. Sea el punto medio del arco de Γ que no contiene a, y sea el punto donde la paralela a por vuelve a cortar a Γ. Se sabe que es paralela a. uáles son las medidas de los ángulos de?

2 Si dibujamos bien el triángulo y la circunferencia debemos observar algo parecido a esto: α Hemos de tener presente, en primer lugar, que si O denota el centro de la cirncunferencia, el segmento O en la figura de abajo es perpendicular a pues está contenido en su mediatriz, y que la mediatriz de coincide con la bisectriz de α por ser isósceles en. De esta forma podemos obtener mediante razonamientos básicos los ángulos que aparecen en la figura. α/2 α1 α2 α/2 O α4 α3 sí, con carácter general, se verifica para cualquier triángulo isósceles que 2 + α = 180 o (1) demás, α 1 = α 2 por ser isósceles O, y α 1 = α 3 por ser también isósceles ; por simetría respecto a la bisectriz de α, podemos también afirmar que α 3 = α 4.

3 Dado que, además, es paralelo a, se verifica que α 4 = α. asta observar entonces O para deducir que + 3α = 180 o (2) La solución que se sigue del sistema de ecuaciones (1) y (2) es = 72 o y α = 36 o (es decir, α = π/5 radianes y = 2π/5 radianes). astantes participantes han intuido con acierto que el pentágono que aparece inscrito a la circunferencia es regular, pero la mayor parte no ha logrado demostrarlo con claridad. α Podría hacerse, por ejemplo, de la siguiente manera: por definición de se verifica =. simismo y por simetría, podemos añadir que = = =, lo cual ocurre en general para todo triángulo isósceles. hora bien, al ser en nuestro caso paralelo a, se tiene que el ángulo es igual a α. Luego, como los ángulos inscritos en la circunferencia y son iguales, también deben serlo los lados y. Llegados a este punto, la demostración podría seguir así: dado que el pentágono anterior está compuesto por 5 triángulos isósceles idénticos con vértices en el centro de la circunferencia, la suma de los ángulos del pentágono es 180 o o = 540 o, es decir, cada ángulo debe medir 108 o, de lo cual se deduce fácilmente la solución. En todo caso, dicha solución constituye un triángulo muy singular que se denomina triángulo áureo, pues puede demostrarse que el cociente / es la razón áurea. 3. Sean x, y, z reales positivos tales que x + y + z = 3. Halla el valor máximo alcanzado por x + 2y z + 6. Para qué valores de x, y, z se alcanza dicho máximo?

4 uchos participantes han apostado, con acierto, por un máximo en x = y = z = 1, y algunos han intentado comprobarlo mediante un tanteo, aunque lo meritorio aquí es demostrarlo. Efectivamente, se trata de percatarnos de que la función f(x, y, z) = x + 2y z + 6 equivale al producto escalar entre los vectores ( x, y + 1, z + 2) y (1, 2, 3), cuyo valor abosulto debe ser menor o igual que el producto de los módulos de ambos vectores, que vale 6. La igualdad se alcanza cuando ambos están en la misma dirección, lo cual se consigue con x = y = z = 1. iertamente, se verifica que f(1, 1, 1) = 6. título informativo apuntamos que la proposición puede demostrarse de manera más laboriosa haciendo uso de herramientas del álculo Diferencial, aunque con la ventaja de no partir de una idea feliz, como ocurre con la demostración anterior. 4. Encuentra todas las aplicaciones f : Z Z que verifican para cualquier entero n y además f(n) + f(n + 1) = 2n + 1 i=1 f(i) = 2015 Si dejamos como incógnita f(0) y damos algunos valores a su alrededor, podemos percatarnos de que la condición f(n)+f(n+1) = 2n+1 equivale a f(n) = n+( 1) n f(0), lo cual puede razonarse formalmente por inducción. Por lo tanto, n=1 f(n) = n f(0) = n= f(0) Despejando se deduce que f(0) = 1, po lo que la única función que verifica ambas condiciones es f(n) = n + ( 1) n, n Z lgunos participantes han razonado también correctamente en el orden contrario, encontrando primero un valor concreto e induciendo después el resto de los valores. Efectivamente, se verifica 2015 = i=1 f(i) 31 = f(1) + [f(2k) + f(2k + 1)] k=1 31 = f(1) + (4k + 1) = f(1) k=

5 de donde se deduce que f(1) = 0. partir de dicho valor podemos ir conociendo de forma consecutiva los valores de la función f para los enteros a ambos lados de 1 e inducir igualmente la expresión general de f(n). 5. Sea n 2 un entero positivo. Tenemos 2n bolas, en cada una de las cuales hay escrito un entero. Se cumple que, siempre que formamos n parejas con las bolas, dos de estas parejas tienen la misma suma. a) Demuestra que hay cuatro bolas con el mismo número. b) Demuestra que el número de valores distintos que hay en las bolas es como mucho n 1. En este caso ningún participante ha logrado aproximarse a una demostración clara. Podría razonarse por ejemplo así: si ordenamos las 2n bolas de menor a mayor y formamos parejas entre bolas consecutivas (la primera con la segunda, la tercera con la cuarta, etc), las correspondientes sumas también seguirán un orden creciente, de manera que dos parejas tendrán la misma suma si, y sólo si, sus cuatro componentes son idénticos. sí queda demostrada la propiedad a. La propiedad b la probaremos por reducción al absurdo: supongamos que no se verifica, es decir, que tenemos al menos n bolas diferentes que ordenaremos de menor a mayor mediante a 1 < a 2 <... < a n. Ordenemos también de menor a mayor el resto de bolas b 1 b 2... b n. Si emparejamos las bolas con el mimo subíndice (a 1 con b 1, a 2 con b 2, etc.) resulta imposible obtener dos sumas iguales, con lo que acabamos. 6. Encuentra todos los enteros positivos n, que verifican para algún entero positivo x. n = 2 2x 1 5x 3 = ( 2 x 1 1 ) (2 x + 1) La ecuación de la derecha es equivalente a 2 x 1 = 5x + 2. omo la función f(x) = 2 x 1 es convexa, la curva y = 2 x 1 puede cortar a la recta y = 5x + 2 en dos puntos a lo sumo. asta representarlas de manera aproximada para percatarse de que los cortes se producen para un valor de x negativo, que no nos interesa, y para otro positivo que podemos buscar por tanteo si realmente es entero. Efectivamente, la igualdad se verifica con x = 6, en cuyo caso el valor de n es 2015.

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