MATEMÁTICAS MÓDULOS FORMATIVOS DE NIVEL 2


Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "MATEMÁTICAS MÓDULOS FORMATIVOS DE NIVEL 2"

Transcripción

1

2

3 MATEMÁTICAS MÓDULOS FORMATIVOS DE NIVEL 2

4 Primera edición septiembre 2011 Autores: Mª Pilar González Mateo José Luis Gracia Amigot Mª Virtudes Guillén Lorén Raquel Perdiguero López Javier Velilla Gil Diseño de maquetación y de cubierta: INO reproducciones Edita: Gobierno de Aragón Impreso en España. Por: INO reproducciones Esta publicación electrónica, corresponde a los módulos formativos de los certificados de profesionalidad de nivel 2. El presente material tiene carácter educativo y se distribuye gratuitamente. Tanto en los textos como en las imágenes, aportadas por los autores, se pueden encontrar elementos de terceros. Si en algún momento existiera en los materiales elementos cuya utilización y difusión no estuvieran permitidas en los términos que aquí se hace, es debido a un error, omisión o cambio en la licencia original; si el usuario detectara algún elemento en esta situación podría comunicarlo al responsable de la edición, para que tal circunstancia sea corregida de manera inmediata.

5 INDICE Introducción... 9 UD1. Tipos de números. Números naturales Introducción Tipos de números Números naturales y números enteros Números decimales Fracciones Relación entre fracciones y números decimales Ejercicios Números naturales Operaciones con números naturales Potencias de números naturales. Propiedades Raíces cuadradas de números naturales Jerarquía de operaciones. Uso del paréntensis Ejercicios UD2. Divisibilidad. Números enteros Introducción Divisibilidad Múltiplos y divisores Criterios de divisibilidad Números primos y compuestos Descomposición de un número en producto de factores primos Máximo común divisor Mínimo común múltiplo Ejercicios Números enteros Número entero y su opuesto. Recta numérica Suma y resta de dos números enteros Suma y resta de varios números enteros Multiplicación de números enteros División de números enteros Potencias con base entera Propiedades Operaciones combinadas UD3. Números decimales y fracciones. Proporcionalidad y porcentajes Introducción Decimales y fracciones Repaso de operaciones con números decimales Fracciones equivalentes Simplificación de fracciones Reducción de fracciones a común denominador Módulos formativos de Nivel 2 [ 5 ]

6 MATEMÁTICAS Suma y resta de fracciones Producto y cociente de fracciones Potencia de fracciones Resolución de problemas de fracciones Ejercicios Proporcionalidad y porcentajes Razón y proporción. Cálculo del término desconocido Proporcionalidad directa Problemas Proporcionalidad inversa Problemas Repartos de proporcionalidad directa Porcentaje Problemas Ejercicios UD4. Ecuaciones y álgebra. Geometría Introducción Ecuaciones y álgebra Expresiones algebraicas Ecuaciones Práctica Operaciones con monomios Práctica Resolución de ecuaciones Ecuaciones con paréntesis Ecuaciones con denominadores Ejercicios Geometría Sistemas de medidas Actividades sobre el Sitema Métrico Decimal Figuras planas Triángulos Teorema de Pitágoras Cuadriláteros Polígonos regulares Circunferencia y círculo Áreas de figuras planas Cuerpos geométricos Prisma Pirámide Cilindro Cono Esfera Ejercicios Sistema Métrico Decimal Figuras planas Volúmenes UD5. Estadística. Funciones Introducción Estadística Población y muestra. Variables estadísticas Frecuencia absoluta y relativa. Tabla de frecuencias [ 6 ] Certificados de Profesionalidad

7 Índice Diagrama de barras Polígono de frecuencias Diagrama de sectores Pictogramas Media, moda y mediana Ejercicios Funciones Representación de puntos en el plano Qué es una función? Representación gráficas de funciones Funciones elementales Funciones afines Funciones lineales Funciones constantes Ejercicios Módulos formativos de Nivel 2 [ 7 ]

8

9 INTRODUCCIÓN Probablemente los seres humanos empezamos a contar con los dedos y por esa misma razón razón ideamos un sistema numérico decimal basado en 10 símbolos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0), el número de dedos de nuestras manos. Al principio, con los números enteros y positivos (números Naturales) era suficiente para resolver la operación de la suma, pero la invención de la resta, al no poder resolver algunas operaciones como 5 10, nos obligó a ampliar los números (necesitábamos los números negativos). Asimismo, la operación de la división repartir entre varias personas, por ejemplo nos obligó a otra ampliación numérica: los números fraccionarios. Ya ves, cuando un problema no tiene solución, debemos poner en funcionamiento nuestra capacidad de razonar y buscar soluciones. Módulos formativos de Nivel 2 [ 9 ]

10

11 1 TIPOS DE NÚMEROS. NÚMEROS NATURALES INTRODUCCIÓN En esta unidad vamos a trabajar los tipos de números y los números naturales. Los tipos de números es un tema de introducción a los números que iremos desarrollando a los largo del curso. Con los números naturales empezamos el estudio de los campos numérico. En la historia los seres humanos hemos ido ampliando el campo de los números según se hacía necesario para encontrar solución a distintos problemas. Los números naturales son números enteros y positivos (0, 1, 2, 3, 4...) y se empezaron a utilizar para contar cosas del medio natural indivisible, como ovejas, personas, dedos... La operación de la resta, como veremos, no obligó a ampliar el campo de los números, puesto que con los números naturales no podíamos resolver operaciones como TIPOS DE NÚMEROS En esta sección vamos a conocer o a recordar los distintos tipos de números que aparecen tanto en matemáticas, como en otras ciencias y en la vida diaria. Es sólo una introducción, ampliada en los temas posteriores, que nos dará una visión general del porqué de los números. Números naturales y números enteros Números naturales Los utilizamos para contar, ordenar, expresar códigos,... Son los primeros que el hombre necesitó utilizar de forma natural, para indicar la cantidad de animales que veía, para intercambiar posesiones sin ganar ni perder con el cambio, etc. Al conjunto de los números naturales se le designa con la letra N Módulos formativos de Nivel 2 [ 11 ]

12 MATEMÁTICAS Números enteros Hay situaciones en las que los números naturales no son suficientes, por lo que necesitamos crear otros nuevos, que llamaremos números enteros. El conjunto de los números enteros se designa con la letra Z Z = {0, 1, 2, 3, 4, } Observaciones: Los números enteros positivos son los números naturales. Cualquier número natural se puede considerar entero, pero al revés no. Por ejemplo: 7 es un número natural y entero -9 es un número entero, pero no es natural Actividades Complete la siguiente tabla: Natural Entero Anterior Posterior Números decimales Los números decimales sirven para expresar medidas, pues pueden designar valores intermedios entre los números enteros. Por ejemplo: Para expresar la altura en metros de una persona (1,68m) Para expresar el precio del kilo de naranjas (1,83 euros/kg) [ 12 ] Certificados de Profesionalidad

13 Unidad 1: Tipos de números. Números naturales Actividades Escribe con cifras: a) Veinticinco milésimas b) 37 centésimas c) Dos unidades y siete diezmilésimas d) Doscientos sesenta millonésimas Fracciones Para medir suele ser necesario fraccionar la unidad. De aquí surge la idea de número fraccionario: mitad, quinta parte, milésima parte... Una fracción se puede interpretar de diferentes maneras: A) Una fracción es una parte de la unidad. Módulos formativos de Nivel 2 [ 13 ]

14 MATEMÁTICAS B) Una fracción es un operador. Para calcular la fracción de un número se multiplica dicho número por el numerador y se divide por el denominador C) Una fracción es un cociente de dos números. Actividades a a* p de p = b b 4 = 4 dividido para 5 = 0, dividido para 3 = 4 3 = Coloree, como en el ejemplo, la fracción indicada Calcule 1 a) de b) de c) de [ 14 ] Certificados de Profesionalidad

15 Unidad 1: Tipos de números. Números naturales Relación entre fracciones y números decimales Cualquier número entero se puede expresar como una fracción = = 1 Por ejemplo: 48 será igual a 48 dividido por es igual a -123 dividido por 1 Se observa también, que si realizamos la división 5 dividido por 2, el resultado es el número decimal 2,5. Por lo tanto podemos identificar la fracción que escribiremos como: 5 2,5 2 = Exactamente ocurre en cualquier otro caso, de forma que podemos asegurar que a cada fracción le corresponde un número decimal, que se obtiene sin más que dividir el numerador de la fracción por el denominador de la misma. A cada fracción le corresponde un número decimal, que se obtiene haciendo la división Vemos abajo un par de ejemplos: Actividades 1. En el siguiente cuadro coloque una cruz en cada uno de los conjuntos de números a los que pertenece cada uno de los siguientes números: Natural Entero Anterior Posterior -1/ ,1416 3, , Módulos formativos de Nivel 2 [ 15 ]

16 MATEMÁTICAS 2. Encuentre el decimal correspondiente a cada una de las siguientes fracciones: 2 a) = 5 30 b) = 60 Ejercicios Jerarquía de las operaciones Calcule el valor de las siguientes expresiones: a) = d) 20 : = b) = e) (4 + 10) : 2 = c) (1 + 4) 3 = f) 15 : = Calcule respetando la prioridad de las operaciones: a) = d) = b) : : = e) ( ) = c) ( ) = f) (6 + 8) : : (5 + 4) = Potencias de números naturales Calcule el valor de las siguientes potencias: a) 2 3 c) 3 4 b) 5 2 d) 11 3 Calcule el valor de x en cada caso: a) x 5 = 32 c) x 2 = 625 b) x 3 = 1000 d) 5 x = 125 Raíces de números naturales Calcule las siguientes raíces cuadradas a) 169 c) b) 25 d) Jerarquía de las operaciones. Uso del paréntesis Realice las siguientes operaciones respetando la prioridad de operaciones: a) ( ) c) ( ) b) (8-2 9 ) d) (8-2 9 ) [ 16 ] Certificados de Profesionalidad

17 Unidad 1: Tipos de números. Números naturales Propiedades de las potencias Calcule las siguientes expresiones: a) b) c) 5 7 : 5 6 d) 10 8 : 10 e) ( ) : 2 6 f) (5 4 : 5 3 ) 5 2 g) (2 10 : 2 4 ) : 2 3 h) ( ) : ( ) i) (3 2 ) 2 NÚMEROS NATURALES En esta sección vamos a recordar las operaciones con números naturales, sobradamente conocidas (suma, resta, producto y división). También, trabajaremos el concepto de potencia, sus propiedades y una ligera noción de la raíz cuadrada. Es importante que se tenga claro que las operaciones deben realizarse con un cierto orden, que se estudiará con detalle en el apartado de "Jerarquía de las operaciones". Operaciones con números naturales Suma Módulos formativos de Nivel 2 [ 17 ]

18 MATEMÁTICAS Resta Multiplicación División [ 18 ] Certificados de Profesionalidad

19 Unidad 1: Tipos de números. Números naturales Actividades Realice las siguientes operaciones de números naturales: a) = b) = c) = d) ( )- ( ) = a) = b) = a) 3845 : 72 = b) : 1632 = Sabiendo que en una división el cociente es 83, el divisor es 45 y el resto 12, halle el dividendo Módulos formativos de Nivel 2 [ 19 ]

20 MATEMÁTICAS Potencias de números naturales. Propiedades. Para indicar de forma abreviada la multiplicación o producto repetido del mismo número o factor utilizamos una forma de escribir especial. Ejemplos: a) = 45 Se lee cuatro elevado a cinco. Base 4, exponente 5. b) 7 7 = 72 Se lee siete elevado a dos o siete al cuadrado. Base 7, exponente 2. c) a a a a a a a a = a8 Se lee a elevado a 8 o a a la ocho. Base a, exponente 8. Propiedades de las potencias 1. Potencia de un producto: Es igual al producto o multiplicación de las potencias de los factores. (a b) n = a n b n 2. Potencia de un cociente: Es igual al cociente de las potencias del dividendo y divisor. (a : b) n = a n : b [ 20 ] Certificados de Profesionalidad

21 Unidad 1: Tipos de números. Números naturales 3. Producto de potencias de la misma base: al multiplicar dos potencias de la misma base el resultado se puede expresar como una potencia de la misma base y de exponente la suma de los exponentes. a n a m = a n + m 4. Cociente de potencias de la misma base: al dividir dos potencias de la misma base el resultado se puede expresar como una potencia de la misma base y de exponente la resta de los exponentes. a n : a m = a n - m 5. Potencia de una potencia: al elevar una potencia a otra potencia el resultado se puede expresar como una potencia de la misma base y de exponente el producto o multiplicación de los exponentes. (a n ) m = a n m 6. Potencia de exponente cero: la potencia de exponente 0 y base distinta de 0 vale siempre = = 1 Módulos formativos de Nivel 2 [ 21 ]

22 MATEMÁTICAS Actividades 1. Calcule las siguientes potencias 3 4 ; 12 3 ; ; Calcule, por separado, y compare el resultado de las siguientes parejas de potencias a) (3 4) b) (10 : 5) : 5 4 Aplicando las propiedades de las potencias expresa el resultado mediante una sola potencia a) f) : b) g) a 6 a 4 a c) 74 0 h) (3 2 ) 7 d) 5 1 i) ( ) : 2 3 e) 3 5 : 3 j) (2 7 : 2 3 ). ( ) k) (a 3 a) 2 Raíces cuadradas de números naturales La raíz cuadrada es la operación inversa de elevar al cuadrado: La raíz cuadrada de 9 (que se escribe 9 ) es el número que al elevarlo al cuadrado nos da 9. Este número es 3. La raíz cuadrada de 25 (que se escribe 25 ) es el número que al elevarlo al cuadrado nos da 25. Este número es 5. Por lo tanto escribimos 25 = 5 Se define raíz cuadrada de a (que se escribe a ) como el número que al elevarlo al cuadrado nos da a. 2 Es decir: a = b a=b Actividades 1. Calcule a) 169 d) b) 400 e) c) 1 f) b [ 22 ] Certificados de Profesionalidad

23 Unidad 1: Tipos de números. Números naturales 2. Halle los números cuyos cuadrados son a) 25 d) 1 b) 36 e) 0 c) f) La superficie de un cuadrado mide 400 m 2. Halla la longitud del lado Jerarquía de operaciones. Uso del paréntensis. Las operaciones tienen un orden de prioridad por lo que hay que realizarlas o ejecutarlas siguiendo este orden: Dos ejemplos de resolución de operaciones Módulos formativos de Nivel 2 [ 23 ]

24 MATEMÁTICAS Actividades Realice los siguientes cálculos a) = b) 8 (7 3) = c) (9 + 3) 5 = d) (9 6) (5 + 3) 9 : 3 = e) ( ) = f) ( : 3) : (30 : 15) = Ejercicios Jerarquía de las operaciones Calcule el valor de las siguientes expresiones: a) = d) 20 : = b) = e) (4 + 10) : 2 = c) (1 + 4) 3 = f) 15 : = Calcule respetando la prioridad de las operaciones: a) = d) = b) : : = e) ( ) = c) ( ) = f) (6 + 8) : : (5 + 4) = Potencias de números naturales Calcule el valor de las siguientes potencias: a) 2 3 c) 3 4 b) 5 2 d) 11 3 Calcule el valor de x en cada caso: a) x 5 = 32 c) x 2 = 625 b) x 3 = 1000 d) 5 x = 125 Raíces de números naturales Calcule las siguientes raíces cuadradas a) 169 c) 400 b) 25 d) [ 24 ] Certificados de Profesionalidad

25 Unidad 1: Tipos de números. Números naturales Jerarquía de las operaciones. Uso del paréntesis Realice las siguientes operaciones respetando la prioridad de operaciones: a) ( ) c) ( ) b) (8-2 9 ) d) (8-2 9 ) Propiedades de las potencias Calcule las siguientes expresiones: a) b) c) 5 7 : 5 6 d) 10 8 : 10 6 e) ( ) : 2 6 f) (5 4 : 5 3 ) 5 2 g) (2 10 : 2 4 ) : 2 3 h) ( ) : ( ) i) (3 2 ) 2 Módulos formativos de Nivel 2 [ 25 ]

26

27 2 DIVISIBILIDAD. NÚMEROS ENTEROS INTRODUCCIÓN En esta unidad vamos a trabajar la divisibilidad y los números enteros. La divisibilidad vamos aprender cuando un número es divisible por otro y a hallar el máximo común divisor y mínimo común múltiplo. Todo esto te ayudará a resolver problemas y a operar con fracciones en la siguiente unidad. El concepto de número entero es sencillo (te lo explicamos con el ejemplo de la economía doméstica (lo que gano y lo que gasto), pero la operación con enteros suele costar al principio, en especial, la prioridad de operaciones (primero sumar y restar y luego multiplar y divisidr) y los paréntesis (para cambiar el orden de prioridad). Con un poco de paciencia y prestando especial atención a estas cuestiones, lo aprenderás sin dificultad. Los números naturales son números enteros y positivos (0, 1, 2, 3, 4...) y se empezaron a utilizar para contar cosas del medio natural indivisible, como ovejas, personas, dedos... La operación de la resta, como veremos, no obligó a ampliar el campo de los números, puesto que con los números naturales no podíamos resolver operaciones como DIVISIBILIDAD En esta sección vamos a trabajar el tema de la divisibilidad. Múltiplos y divisores, números primos y compuestos y máximo común divisor y mínimo común múltiplo son herramientas que te servirán para operar con fracciones (unidad siguiente) y te permitirán resolver problemas como el siguiente: Un cometa es visible desde la tierra cada 16 años, y otro, cada 24 años. El último año que fueron visibles conjuntamente fue en 1968 En qué año volverán a coincidir? Módulos formativos de Nivel 2 [ 27 ]

28 MATEMÁTICAS Múltiplos y divisores Si la división "a : b" es exacta, se dice: "a" es múltiplo de "b" "a" es divisible por "b" "b" es divisor de "a" Ejemplo 2 Ejemplo 1 60 = 4 15 y por lo tanto podemos decir: 60 es múltiplo de 4 y de es divisible por 4 y por 15 4 y 15 son divisores de 60 Actividades De los números 1, 2, 4, 5, 6, 11, 12, 16, 24, 36 Cuáles son divisores de 36? Complete las siguientes frases a) 400 es de 80, porque 400 = 80 b) 500 es por 25, porque = 25 c) 60 es de porque 1200 = Al dividir el número 300 entre 12 se obtiene de resto 0 y cociente 15 Es decir, 300 = A partir de esta información complete con las palabras múltiplo o divisor las siguientes frases a) El número 300 es del número 12 b) El número 12 es del número 300 c) El número 25 es del número 300 d) El número 300 es del número 25 [ 28 ] Certificados de Profesionalidad

29 Unidad 2: Divisibilidad. Números enteros Criterios de divisibilidad Un número es divisible por (o múltiplo de) DOS: Si acaba en cifra par (0,2,4,6,8) TRES: Si la suma de sus cifras es múltiplo de 3 CINCO: Si acaba en 0 o en 5 Ejemplo 1 42 es múltiplo de 2, porque acaba en número par. 42 es múltiplo de 3, porque la suma de sus cifras es = 6, es múltiplo de no es múltiplo de 5, porque no acaba ni en 0 ni en 5. Ejemplo no es múltiplo de 2, porque no acaba en número par 465 es múltiplo de 3, porque la suma de sus cifras es = 15, es múltiplo de es múltiplo de 5, porque acaba en 5 Ejemplo 3 91 no es múltiplo de 2, porque no acaba en número par 91 no es múltiplo de 3, porque la suma de sus cifras = 10, no es múltiplo de 3 91 no es múltiplo de 5, porque no acaba ni en 0 ni en 5 Actividades 1. Complete la siguiente tabla, utilizando los criterios de divisibilidad cuando se pueda: Divisor NO SI Complete la siguiente tabla: Número Divisible por 4? Comprobación Múltiplo de 3? Comprobación 28 SI 28 = 4 7 NO = Módulos formativos de Nivel 2 [ 29 ]

30 MATEMÁTICAS 3. Complete la siguiente tabla Número SI Escriba todos los divisores de los siguientes números: 9; 15; 16; 42; 60 Números primos y compuestos Números primos: Son aquellos que sus únicos divisores son el 1 y él mismo. Ejemplos: 7, 13, 17, 41 Los números primos menores que 100 son: 1; 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; 31; 37; 41; 43; 47; 53; 59; 61; 67;71;73;79;83;89;97 Números compuestos: Son aquellos que tienen algún divisor distinto de él mismo y del 1 Ejemplos de números compuestos: 12, 45, 69, tiene por divisores 1; 2; 3; 4; 6; tiene por divisores 1; 3; 5; 9; tiene por divisores 1; 3; 23; tiene por divisores 1; 3; 11; 33 [ 30 ] Certificados de Profesionalidad

31 Unidad 2: Divisibilidad. Números enteros Descomposición de un número en producto de factores primos Consiste en expresar dicho número como producto de factores primos. También se llama descomposición factorial del número. Para conseguir la descomposición factorial se va dividiendo el número entre sus sucesivos divisores primos (aquellos que solo son divisibles por 1 o por sí mismos). Actividades Descomponga en factores primos a) 12 d) 143 b) 50 e) 450 c) 180 f) 1188 Qué números tienen las siguientes descomposiciones factoriales? a) d) b) e) c) f) De los siguientes números, diga cuáles son primos y cuáles compuestos: a) 5 d) 101 b) 22 e) 36 c) 89 f) 41 Módulos formativos de Nivel 2 [ 31 ]

32 MATEMÁTICAS Máximo común divisor El máximo común divisor de varios números (M.C.D.) es el mayor de los divisores comunes de dichos números. Para calcularlos se descompone cada número en producto de factores primos y el M.C.D. se forma con el producto de los factores primos comunes elevados al menor exponente. [ 32 ] Certificados de Profesionalidad

33 Unidad 2: Divisibilidad. Números enteros Si los números no tienen ningún factor primo común el máximo común divisor es el 1. Mínimo común múltiplo El mínimo común múltiplo de varios números (m.c.m.) es el menor de los múltiplos comunes de dichos números. Para calcularlos se descompone cada número en producto de factores primos y el m.c.m. se forma con el producto de los factores primos comunes y no comunes elevados al mayor exponente. Módulos formativos de Nivel 2 [ 33 ]

34 MATEMÁTICAS Actividades Calcule, para las siguientes parejas de números, el M.C.D y el m.c.m a) 30 y 20 d) 48 y 35 b) 8 y 18 e) 300 y 120 c) 45 y 90 f) 1080 y 2250 Calcule, para los siguientes trios de números, el M.C.D y el m.c.m a) 4; 6; 12 d) 60; 72; 90 b) 12; 18; 24 e) 132; 176; 220 c) 9; 14; 15 [ 34 ] Certificados de Profesionalidad

35 Unidad 2: Divisibilidad. Números enteros Ejercicios 1. Busque todos los divisores de Cuáles de los siguientes números son múltiplos de 2, 3, 5 y 11? a) 12 d) 7381 b) 48 e) 5555 c) 1320 f) 9 3. Indique si es verdadero (V) o falso (F) y razónelo a) Los números primos no tienen divisores b) Un número es divisor de sí mismo c) El 1 es divisor de cualquier número d) Un múltiplo de 6 es siempre múltiplo de 3 e) Un divisor de 12 también lo es de Indique, para cada caso, un valor que pueda tomar la letra para que sean ciertas las afirmaciones siguientes: a) 2c es múltiplo de 3 b) 58p es múltiplo de 2 y de 5 c) 25a es múltiplo de 2 d) 72m es múltiplo de 3 y de 5 5. Halle la descomposición factorial de los siguientes números: a) 95 d) 1400 b) 46 e) 2005 c) Calcule el mcm y el MCD de: a) 310 y 180 b) 28; 35 y Escriba un número de cuatro cifras que sea a la vez múltiplo de 3 y de 5 8. Un bidón contiene 140 litros de zumo de naranja, y otro 352 de manzana. Diga qué tamaño tendría que tener una botella, lo más grande posible, que sirviese para envasar los dos zumos, por separado, de manera que quepa justo el líquido en ellas. 9. Un cometa es visible desde la tierra cada 16 años, y otro, cada 24 años. El último año que fueron visibles conjuntamente fue en 1968 En qué año volverán a coincidir?. Módulos formativos de Nivel 2 [ 35 ]

36 MATEMÁTICAS NÚMEROS ENTEROS En esta sección vamos a trabajar los números enteros. Se han procurado explicar minuciosamente las distintas operaciones para que se entienda bien el proceso a seguir en cada caso. Debido a su dificultad, se han propuesto gran cantidad de ejercicios para que cada uno realice los que considere necesarios. Número entero y su opuesto. Recta numérica El conjunto de los números enteros está formado por: Z = {...-53,...-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4, } Un número entero... Se define opuesto del número + 7 y se escribe: op (+ 7) = -7 Se define opuesto del número -4 y se escribe: op (-4) = + 4 En general, se define opuesto del número + a y se escribe: op (+ a) = -a En general, se define opuesto del número -a y se escribe: op (-a) = + a Orden en los números enteros Los números enteros se representan ordenados en la recta numérica: [ 36 ] Certificados de Profesionalidad

37 Unidad 2: Divisibilidad. Números enteros Suma y resta de dos números enteros Para entender bien la suma de números enteros, empezaremos operando sólo con dos números. Asociaremos: 5 tengo 5. (Número entero positivo: TENGO) -3 debo 3. (Número entero negativo: DEBO) Ejemplo 1 Ejemplo 2 tengo = 8 { = -1 tengo 5} finalmente tengo 8 finalmente debo 1 resultado 8 resultado -1 debo 5 { tengo 4} Ejemplo 3 Ejemplo 4 debo 2 tengo = -10 { 8 5 = 3 debo 8} debo 5 finalmente debo 10 finalmente tengo 3 resultado -10 resultado 3 { } Ejemplo 5 Ejemplo 6 tengo = -5 { = 5 debo 12} finalmente debo 5 finalmente tengo 5 resultado -5 resultado 5 debo 3 { tengo 8} Actividades Resuelva los siguientes ejercicios a) 15 6 e) 3 10 b) f) c) g) -5 2 d) h) Módulos formativos de Nivel 2 [ 37 ]

38 MATEMÁTICAS Suma y resta de varios números enteros Cuando los números que entran en la operación son más de dos, empezaremos por agrupar los positivos y los negativos, es decir los que tengo y los que debo, procediendo seguidamente como en los casos anteriores. Actividades Resuelva los siguientes ejercicios a) = e) = b) = f) = c) = g) = d) = h) = A veces nos encontraremos en las sumas y restas de números enteros, casos como los siguientes: a) (-3) d) + 4 (-2) b) -3 + (+ 4) e) -(-4) + (-8) c) + (+ 2) + (-5) f) -(-2) (-5) Resolución de los ejemplos a) (-3) = 5 3 = 2 d) + 4 (-2) = = 6 b) -3 + (+ 4) = = 1 e) -(-4) + (-8) = 4 8 = -4 c) + (+ 2) + (-5) = 2 5 = -3 f) -(-2) (-5) = = 7 Para resolver esta situación se quitan paréntesis, para dejar las operaciones como las vistas anteriormente. Los casos posibles son: [ 38 ] Certificados de Profesionalidad

39 Unidad 2: Divisibilidad. Números enteros Actividades Resuelva los siguientes ejercicios a) -3 + (-3) f) -(+ 7) + (-15) b) (-8) g) (+ 9)-(+ 7) c) -(+ 2)-(-12) h) (-5)-(+ 8) d) (+ 8)-(-2) i) (-9)-(-6) Resumen: Para sumar o restar varios números enteros se efectúan los pasos siguientes: Se quitan los par éntesis, si los hay, aplicando los casos anteriores. Se suman los positivos por un lado y los negativos por otro. Se restan los resultados y se pone el signo de mayor. Ejemplos (-5) + (-2) (+ 8) (-1) = (+ 21) + (-8) (+ 2) (-5) = = = = 1 15 = -14 = = 16 3 (+ 8) (3) + (-6) + (10) = = = = -4 Actividades Resuelva los siguientes ejercicios a) -5 (-8) (-2) = e) -(-41) + 23 (-14) 3 + (-8) = b) 14 + (-9) 2 = f) 30 (12) (-22) + (+ 18) = c) 3 (-4) (-6) (-1) = g) (+ 51) (-43) + 31 (+ 22) -1 = d) (+ 20) + (-17) 3 = h) 5 (-6) 15 + (-21) + (3) (-8) + 14 = Módulos formativos de Nivel 2 [ 39 ]

40 MATEMÁTICAS Multiplicación de números enteros Para dos factores: 1. Si los factores tienen el mismo signo, el resultado es positivo (+) (+) = + { (-) (-) = + Ejemplos (+ 5) (+ 3) = + 15 (-5) (-6) = = Si los factores tienen el distinto signo, el resultado es negativo (+) (-) = - { (-) (+) = - Ejemplos (+ 5) (-3) = -15 (-5) (+ 6) = = -35 Estamos utilizando la llamada Regla de los signos : Para más de dos factores: Se van multiplicando de dos en dos, utilizando la regla de los signos: (+ 2) (-4) (+ 10) = (-8) (+ 10) = -80 (-3) (-6) (-10) = (+ 18) (-10) = -180 (-2) (-7) (+ 5) (-4) = (+ 14) (-20) = -280 [ 40 ] Certificados de Profesionalidad

41 Unidad 2: Divisibilidad. Números enteros Observaciones: Hay situaciones en las que no está indicado expresamente el producto pero se sobreentiende. 4 (-2) = 4 (-2) = -8-3 (2) = -3 (2) = -6 (-7) 3 = (-7) 3 = -21 (+ 3)(+ 2) = (+ 3) (+ 2) = 6 Actividades Resuelva los siguientes ejercicios a) 5 (+ 7) = e) 3 (-2) 5 = b) 4 (-8) = f) -5 3 (-7) = c)4 (-3) (-5) = g) 5 (-3) 0 = d) 7 (-4) 2 = h) 3 (-2)(-4) = División de números enteros Para dividir dos números enteros 1. Si tienen el mismo signo, el resultado es positivo (+) : (+) = + { (-) : (-) = + Ejemplos (+ 15) : (+ 3) = + 5 (-30) : (-5) = : 4 = 7 2. Si tienen el distinto signo, el resultado es negativo (+) : (-) = - { (-) : (+) = - Ejemplos (+ 15) : (-3) = -5 (-30) : (+ 5) = : 6 = -8 Estamos utilizando la llamada Regla de los signos : Módulos formativos de Nivel 2 [ 41 ]

42 MATEMÁTICAS Para más de dos números Se van dividiendo los dos primeros. El resultado de esta división se divide entre el tercero y así sucesivamente, utilizando la regla de los signos. Lo único que modifica este orden son los paréntesis. Observaciones: (+ 32) : (+ 2) : (+ 4) = (+ 16) : (+ 4) = + 4 (+ 32) : (-2) : (+ 4) = (-16) : (+ 4) = -4 (-40) : (-2) : (+ 5) : (+ 4) = (+ 20) : (+ 5) : (+ 4) = (+ 4) : (+ 4) = 1 La división de dos números enteros no siempre es un número entero. Por ejemplo: 1 : 2 = 0,5 15 : (-4) = -3,75 Estas divisiones dan como resultado un número decimal. Actividades Resuelva los siguientes ejercicios a) 35 : (+ 7) = h 24 : (-8) = b) 48 : (-2) : (-6) = i) 16 : (-4) : 2 = c) 63 : (-7) : 3 = j) -15 : 3 : (-5) = d) 15 : (-3) : 1 = k) 36 : (-2) : (-6) = e) 6 5 : (+ 2) = l) 24 : (-8) 6 = f) : (-4) = m) 6 12 : (-2) : (-6) = g) 40 : 5 (-6) : 2 = n) -42 : (-2) (-7) = [ 42 ] Certificados de Profesionalidad

43 Unidad 2: Divisibilidad. Números enteros Potencias con base entera Se define la potencia con un número entero a de base y de exponente el número natural n como: a n = a a a a n veces Potencias de base positiva La potencia de base positiva es siempre un número positivo. Potencias de base negativa Ejemplos 3 4 = = = = 125 Si el exponente es par el resultado es positivo: (-2) 2 = (-2) (-2) = 4 (-3) 4 = (-3) (-3) (-3) (-3) = 81 Si el exponente es impar el resultado es negativo: (-2) 3 = (-2) (-2) (-2) = 4 (-2) = -8 Recordemos que a 0 = 1, para cualquier número entero a, distinto de 0 Propiedades Las propiedades son las mismas que las de las potencias que tienen de base un número natural (páginas 18 y 19). Ejemplos (-3) 2 (-3) 3 = (-3) 5 = -243 (-4) 5 : (-4) 3 = (-4) 2 = 16 ((5) 2 ) 4 = (5) 8 = Actividades Resuelva los siguientes ejercicios a) (-5) 4 (-5) 5 = e) 12 7 : : 12 3 = b) (-7) 8 : (-7) 5 = f) (-9) 8 : (-9) 7 = c) 12 9 : 12 0 = g) [(-2) 2 ] 4 = d) 13 6 (13 4 : 13 2 ) = h) (-4) 3. (-5) 3 = Módulos formativos de Nivel 2 [ 43 ]

44 MATEMÁTICAS Operaciones combinadas Las operaciones tienen un orden de prioridad, por lo que hay que ejecutarlas. Este orden es: Primero: los paréntesis Segundo: potencias Tercero: multiplicaciones y divisiones Cuarto: las sumas y las restas Veamos ahora dos ejemplos más: Ejemplo 1 Ejemplo 2 Actividades Resuelva los siguientes ejercicios a) 23 5 (7 4) + 6 (5-2) = e) 4 (10 2 3) 2 (15 : 3 3) + 4 (9 2) = b) 22 4 (9 3 2) = f) (7 4 ( )) 7 = c) 8 (6 (7 3) + 2) + 4 = g) : 22 (-2) (-3) = d) 22 2 [4 6 (9 1) + 6 : 2] + 8 = h) (-2)2 4 (-5) = [ 44 ] Certificados de Profesionalidad

45 NÚMEROS DECIMALES 3 Y FRACCIONES. PROPORCIONALIDAD Y PORCENTAJES INTRODUCCIÓN En esta unidad vamos a trabajar decimales y fracciones, en la primera parte, y proporcionalidad y porcentajes, en la segunda parte. En esta unidad entramos de lleno en la vida cotidiana. Los problemas matemáticos que se plantean en la vida diaria son básicamente problemas de decimales, fracciones y porcentajes. En las rebajas nos hacen el 15%, los tipos de interés de las hipotecas están al 3,2% o una tercera parte del sueldo se gasta en alimentación son ejemplos del día a día. Pero, ten cuidado!, los porcentajes nos pueden llevar a engaño: es muy importante fijarse en la base sobre la que se aplica el porcentaje. Si cobraba 1000 euros al mes y primero me rebajan el 10% y luego me suben el 10% no me quedo igual, acabo cobrando 99 euros. Caramba cómo son las matemáticas! DECIMALES Y FRACCIONES En esta unidad vamos a trabajar los números decimales y las fracciones, que son tanto unos como las otras, los números con los que trabajamos con más frecuencia, en cualquier ámbito, tanto científico como en la vida diaria. Por conocidas, sólo se ha hecho un ligero repaso de las operaciones con decimales, que además podemos realizar con calculadora. Se ha hecho más hincapié en la parte de fracciones, por su dificultad y su gran importancia en los estudios de cualquier ciclo. Módulos formativos de Nivel 2 [ 45 ]

46 MATEMÁTICAS Repaso de operaciones con números decimales Recordamos las operaciones con números decimales con los siguientes ejemplos: Para ver el ejemplo de la SUMA de números decimales, observa la ventana de al lado. Para ver el ejemplo de la RESTA de números decimales, observa la ventana de al lado. Para ver el ejemplo de la MULTIPLICACIÓN de números decimales, observa la ventana de al lado. Para ver el ejemplo de la DIVISIÓN de números decimales, observa la ventana de al lado. Actividades Calcule las siguientes operaciones: a) 1,56 + 2,458 = f) 12,45 0,26 = b) 12, ,36 + 0,145 = g) 15, ,3 = c) 22,48-15,321 = h) (32,3 + 15,56) 12,8 = d) 4,36-0,25 = i) 9505:380,2 = e) 156,3 + 32,84-11,906 = j) 852,72:15,2 = [ 46 ] Certificados de Profesionalidad

47 Unidad 3: Números decimales y fracciones. Proporcionalidad y porcentajes Fracciones equivalentes a c Dos fracciones = son equivalentes si se verifica la siguiente igualdad a d = b c b d a Una fracción es una expresión de la forma, con a y b números enteros y b distinto de 0. A a se le llama b numerador y a b se le llama denominador. Esta expresión se lee a partido b e indica el cociente de dichos números. Notas Ejemplo 1 porque 3 12 = 4 9 Ejemplo 2 porque -2 (-25) = Para obtener fracciones equivalentes a una fracción dada podemos: a) multiplicar numerador y denominador por el mismo número. b) dividir numerador y denominador por el mismo número, si tienen un divisor común. 2. Para comprobar que dos fracciones son equivalentes siempre podemos aplicar la definición: = = = = = = : 2 10 = = : 2 9 son equivalentes porque = 1080 = son equivalentes porque 20 9 = 180 = Ejemplo: Hallar las fracciones equivalentes de : 3 5 = = Esta es la fracción irreductible : = = = = = = = Todas las fracciones obtenidas son equivalentes Módulos formativos de Nivel 2 [ 47 ]

48 MATEMÁTICAS Actividades 1. Obtenga dos fracciones equivalentes a las dadas: a) b) c) Halle, en cada caso, el valor de x para que estas igualdades sean ciertas. a) b) c) 6 x = = 15 x = 20 x 3. Encuentre las fracciones que 3 a) La fracción equivalente a que tenga por denominador b) La fracción equivalente a que tenga por numerador c) La fracción equivalente a que tenga por denominador Complete los términos que faltan en las series de fracciones equivalentes: a) b) = = = = = = = = [ 48 ] Certificados de Profesionalidad

49 Unidad 3: Números decimales y fracciones. Proporcionalidad y porcentajes Simplificación de fracciones Simplificar una fracción es sustituirla por otra equivalente con los términos más sencillos. Para simplificar una fracción se divide numerador y denominador por un divisor común para ambos números o por el máximo común divisor de los mismos. Ejemplos: Si una fracción no se puede simplificar se dice que es IRREDUCIBLE. Esto ocurre cuando numerador y denominador sólo tienen por divisor común el Las fracciones y obtenidas en los ejemplos anteriores son irreducibles. 3 4 Actividades Simplifique las siguientes fracciones a) 4 8 d) b) 6 8 e) 35 c) f) Módulos formativos de Nivel 2 [ 49 ]

50 MATEMÁTICAS Reducción de fracciones a común denominador Reducir varias fracciones a común denominador es sustituirlas por otras equivalentes que tengan el mismo denominador. Para ello se hace: 1º Se calcula el m.c.m. de los denominadores. Ejemplo Reducir a común denominador las fracciones 2 20 = = 3 m.c.m. (20,9,15) = = = 3 5 2º Cada fracción se transforma en otra equivalente con denominador el m.c.m. hallado = = = = = = Las nuevas fracciones ; ; son equivalentes a las primeras y tienen las tres el mismo denominador ; ; [ 50 ] Certificados de Profesionalidad

51 Unidad 3: Números decimales y fracciones. Proporcionalidad y porcentajes Actividades 1. Reduzca a común denominador: a) b) c) 5 3 ; ; ; ; Reduzca a común denominador: a) b) ; ; ; ; ; Suma y resta de fracciones Con igual denominador: la suma o resta de fracciones con igual denominador es otra fracción que tiene por numerador la suma o resta de los numeradores, y por denominador el mismo denominador. Con distinto denominador: para sumar o restar fracciones con distinto denominador empezamos por reducir las fracciones a común denominador. Actividades Resuelva los siguientes sistemas de fracciones a) c) b) d) Módulos formativos de Nivel 2 [ 51 ]

52 MATEMÁTICAS Producto y cociente de fracciones PRODUCTO DE FRACCIONES: el producto de fracciones es otra fracción que tiene por numerador el producto de los numeradores y por denominador el producto de los denominadores. COCIENTE DE FRACCIONES: el cociente de dos fracciones es otra fracción que tiene por numerador el producto del numerador de la fracción dividendo por el denominador de la fracción divisor y por denominador el producto del denominador de la fracción dividendo por el numerador de la fracción divisor: = = a c Obsérvese que es la fracción dividendo y es la fracción divisor. b d Actividades = = Resuelva los siguientes ejercicios: a) c) b) 4 10 : 3 9 d) : 3 6 NOTA: cuando hay varios productos y divisiones encadenados sin paréntesis, se hacen en el orden en el que se encuentran: Ejemplo: OPERACIONES COMBINADAS: como para los tipos de números vistos anteriormente, hay que respetar la prioridad de operaciones, que es: : = = = = [ 52 ] Certificados de Profesionalidad

53 Unidad 3: Números decimales y fracciones. Proporcionalidad y porcentajes Actividades Resuelva las siguientes actividades: a) b) c) Potencia de fracciones Se define la potencia de una fracción de:base la fracción n n a y exponente n como a = n b b Ejemplo = = = Ejemplo = = = (-3) -27 Ejemplo = = Ejemplo = = = Ejemplo (-5) = = a b Ejemplo = = Ejemplo (-2) 8 = = Se define la potencia de base la fracción a y exponente -n como b -n -n n a b b = = n b a a Un caso particular muy importante es aquel en que la base es un número entero: a 1 1 = = n 1 a a -n n -n a = Módulos formativos de Nivel 2 [ 53 ]

54 MATEMÁTICAS Las propiedades son las mismas que las de las potencias de base natural o entero. Ejemplo : = = Ejemplo = = 3 i Ejemplo = Ejemplo : : = = = Ejemplo = = = Actividades Resuelva los siguientes ejercicios: a) (-3) 2 (-3) 3 3 d) b) = e) c) = 5 f) : = : Resuelva los siguientes ejercicios: a) 5-3 b) (-2) -2 c) d) Resuelva los siguientes ejercicios: ; ; ; (-3) 2 3 [ 54 ] Certificados de Profesionalidad

55 Unidad 3: Números decimales y fracciones. Proporcionalidad y porcentajes Resolución de problemas de fracciones OPERACIONES CON FRACCIONES Como ya se vio en el tema de tipos de números, una fracción se puede entender como un OPERADOR. Para calcular la fracción de un número se multiplica el dicho número por el numerador y se divide por el denominador: a a* p de p = b b Módulos formativos de Nivel 2 [ 55 ]

56 MATEMÁTICAS Apliquémoslo mediante varios ejemplos: 1. Fracción de un número. Problema directo: Ana tiene 125 E, si se ha gastado los 3/5 en un regalo. Cuánto se ha gastado en el regalo? 2. Fracción de fracción: Jaime se come la mitad de tarta que su hermano, Miguel. Si éste se come los tres décimos de la tarta entera qué fracción de tarta se come Jaime? [ 56 ] Certificados de Profesionalidad

57 Unidad 3: Números decimales y fracciones. Proporcionalidad y porcentajes 3. Fracción de un número. Problema inverso: Julián se ha gastado los 3/5 de su paga en un regalo. Si el regalo le ha costado 75 E Qué paga tiene? 4. Distintas partes de un todo: Ejemplo1 1 2 Raquel tiene de sueldo 1500 E al mes. Emplea de dicho sueldo en comida, en gastos varios, y el 5 3 resto lo ahorra. Queremos saber: a) Qué fracción de dinero gasta? Basta sumar: + =. Gasta los de su sueldo b) Qué fracción de dinero ahorra? Si gasta los de su sueldo, ahorra los 2 15 c) Cuánto dinero gasta en comida y en varios? En comida gasta: = 300 euros 5 2 En varios gasta: 1500 = 1000 euros 3 d) Cuánto dinero ahorra? Ahorra: = 200 euros 15 Módulos formativos de Nivel 2 [ 57 ]

58 MATEMÁTICAS Ejemplo 2 2 En un depósito hay al principio del día 900 m 3 de agua. Por la mañana se gastan los de su capacidad y por la tarde de lo que queda Se quiere saber: a) Qué fracción del depósito queda al final de la mañana? 3 Quedan al final de la mañana. 5 b) Qué fracción del depósito se gasta por la tarde? Se gastan los de = = de depósito c) Qué fracción del depósito queda en el depósito? Se ha gastado + = en total Quedan del depósito al final del día. 5 d) Cuántos litro se gastan por la mañana? Y por la tarde? Cuántos litros sobran? Por la mañana: = 360 m 3 5 se gastan. Por la tarde: = 180 m 3 5 se gastan. Al final del día: = 360 m 3 5 quedan. Actividades 1. En una población de habitantes, 3/5 partes son mujeres, y de los hombres que hay los dos tercios son menores de 20 años. Calcule: a) Qué fracción de la población son hombres? b) Qué fracción de la población son hombres menores de 20 años? c) cuantos hombres y mujeres hay en ese pueblo? d) cuántos de los hombres son menores de 20 años? 2. Me he gastado en un regalo la tercera parte del dinero que llevaba, 2/5 en unos zapatos, y aún me sobran 16 E. a) Qué fracción del dinero me he gastado? b) Qué fracción del dinero me queda? c) Con cuanto dinero he salido de casa? [ 58 ] Certificados de Profesionalidad

59 Unidad 3: Números decimales y fracciones. Proporcionalidad y porcentajes Ejercicios 1. Simplifica todo lo que se pueda las siguientes fracciones: a) c) b) d) De los siguientes pares de fracciones di cuáles son equivalentes y cuáles no: a) y b) y Opera y simplifica a) b) c) : Opera y simplifica 2 3 a) 3 c) b) 5 d) 3 5. Opera y simplifica a) f) b) g) c) h) d) i) e) : j) : 2 + : : : : : En un depósito, el lunes había 3000 litros de agua y estaba lleno. El martes gastó 1/6 del depósito. Qué fracción de agua queda? Cuántos litros de agua quedan? 7. Un agricultor riega por la mañana 2/5 de un campo. Por la tarde riega el resto que son 6000 m2. Cuál es la superficie del campo? Módulos formativos de Nivel 2 [ 59 ]

60 MATEMÁTICAS 8. Calcula cuánto vale A en las siguientes expresiones: a) Dos tercios de A son 126 b) A son los dos quintos de c) A son los cuatro sextos de 720 d) Tres séptimos de A son Un padre le da a sus hijos: al mayor 1/3 del dinero que lleva, al 2º le da 1/5, al 3º le da 1/6 y al 4º le da los 18 euros que le quedan. Cuánto dinero llevaba el padre?. Cuánto le da a cada hijo? 10. De un rollo de alambre de 540 cm.,se corta en primer lugar la tercera parte, después se corta 1/3 de lo que queda y por último otro tercio del resto. Cuánto se corta cada vez? cuánto queda sin cortar? 11. Un rollo de cable de antena mide 250 metros. Se emplean 2/5 partes de la mitad del rollo para hacer una instalación. Cuántos metros se utilizan? Cuántos metros quedan sin utilizar? Expresa con una fracción los metros de cable que sobran. 12. Pablo se ha gastado 3/8 de sus ahorros en un viaje a Disneyland París. Si el viaje le ha salido por 900 euros. Cuánto dinero tenía ahorrado? 13. El resultado de un examen ha sido: 1/10 de alumnos han tenido sobresaliente, 1/5 notable, 1/6 bien y 1/3 suficiente. Qué fracción de los alumnos ha suspendido el examen?. Si el examen lo han suspendido 12 alumnos, averigua qué número de alumnos ha hecho el examen. PROPORCIONALIDAD Y PORCENTAJES En esta sección vamos a trabajar los conceptos de proporcionalidad y porcentajes y los distintos tipos de problemas que se pueden resolver con ellos. Ambos conceptos son de gran utilidad para resolver multitud de problemas que aparecen de forma natural en cualquiera de las áreas que se trabajan en los distintos ciclos de formación profesional y también en nuestra vida cotidiana. Aunque son de apariencia sencilla, es muy importante que los distintos tipos de problemas se sepan resolver con una cierta soltura, ya que se utilizarán mucho posteriormente. Razón y proporción. Cálculo del término desconocido RAZÓN: Una razón es el cociente indicado de dos números Ejemplo 1 La razón de los números 3 y 4 es Ejemplo 2 Los números 35 y 70 están en la razón 1 a 2 ya que 35 1 = 70 2 Ejemplo 3 Ana mide 150 cm y su primo Pedro 50 cm., luego sus alturas están en razón 3 a 1, pues: altura de Ana = = altura de Pedro [ 60 ] Certificados de Profesionalidad

61 Unidad 3: Números decimales y fracciones. Proporcionalidad y porcentajes a c PROPORCIÓN: Una proporción es la igualdad de dos razones =, y se lee a es a b como c es a d. b d A los términos b y d se les llama medios y a los términos a y c extremos = Ejemplo 1 forman proporción, pues 30 1 = 15 2 Ejemplo 2 no forman proporción, pues 52 3 = 20 6 CÁLCULO DEL TÉRMINO DESCONOCIDO DE UNA PROPORCIÓN Para calcular el término desconocido de una proporción se aplica la propiedad de las proporciones: a c = a d = b c b d Producto de medios = producto de extremos Ejemplo 1 6 x = 4 2 se desconoce un medio 6 x = => 6 2= 4 x=> x = = = Ejemplo = 4 x se desconoce un extremo 6 3 = => 6 x= 4 3=> 4 x x = = = Módulos formativos de Nivel 2 [ 61 ]

62 MATEMÁTICAS Proporcionalidad directa Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando: Al aumentar la una (doble, triple...) la otra aumenta de igual manera (doble, triple...) Al disminuir la una (doble, triple,..), la otra disminuye de igual manera (doble, triple...) Ejemplo 1 Los kilos de naranjas que compro y el dinero que pago por ellas son magnitudes directamente proporcionales 1 kilo... 1,5 euros 2 kilos... 3 euros 3 kilos... 4,5 euros 4 kilos... 6 euros 5 kilos... 7,5 euros 6 kilos... 9 euros Ejemplo 2 El número de caramelos de una bolsa y su peso son magnitudes directamente proporcionales: Nº Caramelos Peso en g OBSERVACIÓN: En una tabla de valores directamente proporcionales, el cociente de dos valores que se corresponden es siempre constante. Es decir dos pares de valores correspondientes forman una proporción. En el ejemplo = = = = =... 1, ,5 9 En el ejemplo = = = = = = Problemas Resolución de problemas de proporcionalidad. Métodos [ 62 ] Certificados de Profesionalidad

63 Unidad 3: Números decimales y fracciones. Proporcionalidad y porcentajes Problemas de proporcionalidad directa Existen dos métodos: METODO DE REDUCCIÓN A LA UNIDAD Se ordenan los datos y la incógnita, diferenciando las magnitudes. Se calcula el valor, asociado, de una magnitud a la unidad de la otra. Conocido este valor, podremos calcular fácilmente cualquier par de valores correspondientes. METODO DE LA REGLA DE TRES EJEMPLO: Si cuatro cajas de bombones pesan un kilo cuánto pesarán seis cajas?, y diez? 1º Valor asociado a la unidad (1 caja) 2º Cálculo del peso de 6 cajas: 3º Cálculo del peso de 10 cajas: { } 1 4 cajas pesan... 1 kg u = = 0,250kg 1 caja pesará... u kg 4 { 6 cajas pesarán... x kg } 1 caja pesa... 0,250 kg x = 6 cajas 0,250 kg = 1,5 kg (nº cajas - valor de la unidad) { 10 cajas pesarán... y kg } 1 caja pesa... 0,250 kg y = 10 cajas 0,250 kg = 2,5 kg (nº cajas - valor de la unidad) Módulos formativos de Nivel 2 [ 63 ]

64 MATEMÁTICAS Proporcionalidad inversa Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando: Al aumentar la una (doble, triple...), la otra disminuye de igual manera (doble, triple...) Al disminuir la una (doble, triple...), la otra aumenta de igual manera (doble, triple...) Ejemplo 1 El tiempo que se tarda en ir de una ciudad a otra y la velocidad con la que se circula son magnitudes inversamente proporcionales 12 horas... 5 km/h 6 horas...10 km/h 3 horas km/h 1,5 horas...40 km/h 1 hora...60 km/h Ejemplo 2 El caudal de un grifo en litros por minuto y el tiempo que tarda en llenar un depósito son magnitudes inversamente proporcionales Caudal (l/min) Tiempo (min) OBSERVACIÓN: En una tabla de valores inversamente proporcionales, el producto de dos valores que se corresponden es siempre constante. En el ejemplo = 6 10 = 3 20 = 1,5 40 = 1 60 =... En el ejemplo = = = = = =... NOTA: No todas las magnitudes se pueden relacionar de forma directa ó inversamente proporcional. La edad de un chico y su altura no son magnitudes ni directa ni inversamente proporcionales. La talla de un pantalón y su precio no son magnitudes ni directa ni inversamente proporcionales. Actividades En las siguientes expresiones decir, si la hay, la relación de proporcionalidad entre los pares de magnitudes. a) El peso de peras compradas y los euros pagados por ellas. b) El caudal de un grifo y el tiempo que tarda en llenar un depósito. c) La edad de un niño y su altura. d) El precio de la botella de naranjada y el número de botellas que podré comprar con 20 euros. [ 64 ] Certificados de Profesionalidad

Son números enteros los números naturales y pueden ser de dos tipos: positivos (+) y negativos (-)

Son números enteros los números naturales y pueden ser de dos tipos: positivos (+) y negativos (-) CÁLCULO MATEMÁTICO BÁSICO LOS NUMEROS ENTEROS Son números enteros los números naturales y pueden ser de dos tipos: positivos (+) y negativos (-) Si un número aparece entre barras /5/, significa que su

Más detalles

Unidad 1 números enteros 2º ESO

Unidad 1 números enteros 2º ESO Unidad 1 números enteros 2º ESO 1 2 Conceptos 1. Concepto de número entero: diferenciación entre número entero, natural y fraccionario. 2. Representación gráfica y ordenación. 3. Valor absoluto de un número

Más detalles

Ámbito Científico-Tecnológico Módulo III Bloque 2 Unidad 1 Quien parte y reparte, se lleva la mejor parte

Ámbito Científico-Tecnológico Módulo III Bloque 2 Unidad 1 Quien parte y reparte, se lleva la mejor parte Ámbito Científico-Tecnológico Módulo III Bloque 2 Unidad 1 Quien parte y reparte, se lleva la mejor parte En esta unidad vamos a estudiar los números racionales, esto es, los que se pueden expresar en

Más detalles

NÚMEROS RACIONALES Y DECIMALES

NÚMEROS RACIONALES Y DECIMALES NÚMEROS RACIONALES Y DECIMALES Unidad didáctica. Números racionales y decimales CONTENIDOS Fracciones Fracciones equivalentes Amplificar fracciones Simplificar fracciones Representación en la recta numérica.

Más detalles

Los números racionales

Los números racionales Los números racionales Los números racionales Los números fraccionarios o fracciones permiten representar aquellas situaciones en las que se obtiene o se debe una parte de un objeto. Todas las fracciones

Más detalles

PROPORCIONALIDAD - teoría

PROPORCIONALIDAD - teoría PROPORCIONALIDAD RAZÓN: razón de dos números es el cociente indicado de ambos. Es decir, la razón de los dos números a y b es a:b, o lo que es lo mismo, la fracción b a. PROPORCIÓN: es la igualdad de dos

Más detalles

1.3 Números racionales

1.3 Números racionales 1.3 1.3.1 El concepto de número racional Figura 1.2: Un reparto no equitativo: 12 5 =?. Figura 1.3: Un quinto de la unidad. Con los números naturales y enteros es imposible resolver cuestiones tan simples

Más detalles

Llamamos potencia a todo producto de factores iguales. Por ejemplo: 3 4 = 3 3 3 3

Llamamos potencia a todo producto de factores iguales. Por ejemplo: 3 4 = 3 3 3 3 1. NÚMEROS NATURALES POTENCIAS DE UN NÚMERO NATURAL Llamamos potencia a todo producto de factores iguales. Por ejemplo: 3 4 = 3 3 3 3 El factor que se repite es la base, y el número de veces que se repite

Más detalles

Fracciones. Objetivos. Antes de empezar

Fracciones. Objetivos. Antes de empezar Fracciones Objetivos En esta quincena aprenderás a: Conocer el valor de una fracción. Identificar las fracciones equivalentes. Simplificar una fracción hasta la fracción irreducible. Pasar fracciones a

Más detalles

Polinomios y fracciones algebraicas

Polinomios y fracciones algebraicas UNIDAD Polinomios y fracciones algebraicas U n polinomio es una expresión algebraica en la que las letras y los números están sometidos a las operaciones de sumar, restar y multiplicar. Los polinomios,

Más detalles

TEMA 4 FRACCIONES MATEMÁTICAS 1º ESO

TEMA 4 FRACCIONES MATEMÁTICAS 1º ESO TEMA 4 FRACCIONES Criterios De Evaluación de la Unidad 1 Utilizar de forma adecuada las fracciones para recibir y producir información en actividades relacionadas con la vida cotidiana. 2 Leer, escribir,

Más detalles

1º E.S.O. NÚMEROS ENTEROS:

1º E.S.O. NÚMEROS ENTEROS: 1º E.S.O. NÚMEROS ENTEROS: 1. Los números naturales. Sistema de numeración decimal. Orden y representación de los números naturales. Los números grandes: millones, millardos, billones. Suma, resta y multiplicación.

Más detalles

Polinomios y fracciones algebraicas

Polinomios y fracciones algebraicas 0 Polinomios y fracciones algebraicas En esta Unidad aprenderás a: d Trabajar con epresiones polinómicas. d Factorizar polinomios. d Operar con fracciones algebraicas. d Descomponer una fracción algebraica

Más detalles

CONVOCATORIA 2016 GUÍA DE ESTUDIO PARA PRUEBA DE ADMISIÓN DE MATEMÁTICAS

CONVOCATORIA 2016 GUÍA DE ESTUDIO PARA PRUEBA DE ADMISIÓN DE MATEMÁTICAS CONVOCATORIA 2016 GUÍA DE ESTUDIO PARA PRUEBA DE ADMISIÓN DE MATEMÁTICAS Guía de Estudio para examen de Admisión de Matemáticas CONTENIDO PRESENTACIÓN... 3 I. ARITMÉTICA... 4 1. OPERACIONES CON FRACCIONES...

Más detalles

3 POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS

3 POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS PARA EMPEZAR Un cuadrado tiene 5 centímetros de lado. Escribe la epresión algebraica que da el área cuando el lado aumenta centímetros. A ( 5) Señala cuáles de las siguientes

Más detalles

ACTIVIDADES DE REPASO. MATEMÁTICAS 1º ESO

ACTIVIDADES DE REPASO. MATEMÁTICAS 1º ESO ACTIVIDADES DE REPASO. MATEMÁTICAS º ESO NÚMEROS NATURALES. Calcula: a) 4 6 5 + 3 4 b) (4 6 5) + 3 4 c) 4 6 (5 + 3 4) d) 4 (6 5) + 3 4 e) (5 + 0) 8 f) (73 37) : 6. Calcula: a) 987 + 5 + 3 784 b) 3 978

Más detalles

Iniciación a las Matemáticas para la ingenieria

Iniciación a las Matemáticas para la ingenieria Iniciación a las Matemáticas para la ingenieria Los números naturales 8 Qué es un número natural? 11 Cuáles son las operaciones básicas entre números naturales? 11 Qué son y para qué sirven los paréntesis?

Más detalles

NÚMEROS REALES MÓDULO I

NÚMEROS REALES MÓDULO I MÓDULO I NÚMEROS REALES NUEVE planetas principales constituyen el sistema solar. Si los ordenamos de acuerdo a su distancia al Sol Mercurio es el que está más cerca (58 millones de Km ) Plutón el más lejano

Más detalles

1) Tacha los números que no sean naturales: 12-4 23-5 36 29-1 -15 13-20

1) Tacha los números que no sean naturales: 12-4 23-5 36 29-1 -15 13-20 ACTIVIDADES DE REPASO MATEMÁTICAS 1º ESO NOMBRE: GRUPO:. Actividades a realizar: 1) Tacha los números que no sean naturales: 12-4 23-5 36 29-1 -15 13-20 2) Calcula: a) 4 6 + 3 + 9-2 3 = b) 6 (3 + 7) -

Más detalles

PROGRAMACIÓN DE AULA MATEMÁTICAS 6º DE PRIMARIA

PROGRAMACIÓN DE AULA MATEMÁTICAS 6º DE PRIMARIA PROGRAMACIÓN DE AULA MATEMÁTICAS 6º DE PRIMARIA UNIDAD 1: NÚMEROS NATURALES. OPERACIONES Conocer los nueve primeros órdenes de unidades y sus equivalencias. Leer, escribir y descomponer números de hasta

Más detalles

REPASO NÚMEROS NATURALES Y NÚMEROS ENTEROS

REPASO NÚMEROS NATURALES Y NÚMEROS ENTEROS SUMA REPASO NÚMEROS NATURALES Y NÚMEROS ENTEROS NÚMEROS NATURALES (N) 1. Características: Axiomas de Giuseppe Peano (*): El 1 es un número natural. Si n es un número natural, entonces el sucesor (el siguiente

Más detalles

Los polinomios. Un polinomio es una expresión algebraica con una única letra, llamada variable. Ejemplo: 9x 6 3x 4 + x 6 polinomio de variable x

Los polinomios. Un polinomio es una expresión algebraica con una única letra, llamada variable. Ejemplo: 9x 6 3x 4 + x 6 polinomio de variable x Los polinomios Los polinomios Un polinomio es una expresión algebraica con una única letra, llamada variable. Ejemplo: 9x 6 3x 4 + x 6 polinomio de variable x Elementos de un polinomio Los términos: cada

Más detalles

Capítulo 5: Ecuaciones de segundo grado y sistemas lineales

Capítulo 5: Ecuaciones de segundo grado y sistemas lineales º de ESO Capítulo : Ecuaciones de segundo grado sistemas lineales Autora: Raquel Hernández Revisores: Sergio Hernández María Molero Ilustraciones: Raquel Hernández Banco de Imágenes de INTEF Ecuaciones

Más detalles

UNIDAD 6. POLINOMIOS CON COEFICIENTES ENTEROS

UNIDAD 6. POLINOMIOS CON COEFICIENTES ENTEROS UNIDAD 6. POLINOMIOS CON COEFICIENTES ENTEROS Unidad 6: Polinomios con coeficientes enteros. Al final deberás haber aprendido... Expresar algebraicamente enunciados sencillos. Extraer enunciados razonables

Más detalles

EJERCICIOS PROPUESTOS. a) 9 500 b) 3 c) 2 d) 20 e) 25

EJERCICIOS PROPUESTOS. a) 9 500 b) 3 c) 2 d) 20 e) 25 2 NÚMEROS ENTEROS EJERCICIOS PROPUESTOS 2.1 Expresa con un número entero las siguientes informaciones. a) El avión está volando a 9 500 metros de altura. b) La temperatura mínima de ayer fue de 3 C bajo

Más detalles

4º ESO MATEMÁTICAS Opción A 1ª EVALUACIÓN

4º ESO MATEMÁTICAS Opción A 1ª EVALUACIÓN 4º ESO MATEMÁTICAS Opción A 1ª EVALUACIÓN Bloque 2. POLINOMIOS. (En el libro Tema 3, página 47) 1. Definiciones. 2. Valor numérico de una expresión algebraica. 3. Operaciones con polinomios: 3.1. Suma,

Más detalles

UNIDAD 1. NÚMEROS NATURALES Y OPERACIONES

UNIDAD 1. NÚMEROS NATURALES Y OPERACIONES UNIDAD 1. NÚMEROS NATURALES Y OPERACIONES 1. SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL.. LECTURA, ESCRITURA, DESCOMPOSICIÓN Y ORDENACIÓN DE NÚMEROS NATURALES. 3. SUMA DE NÚMEROS NATURALES. PROPIEDADES. 4. RESTA DE

Más detalles

FRACCIONES. Una fracción tiene dos términos, numerador y denominador, separados por una raya horizontal.

FRACCIONES. Una fracción tiene dos términos, numerador y denominador, separados por una raya horizontal. FRACCIONES Las fracciones representan números (son números, mucho más exactos que los enteros o los decimales), Representa una o varias partes de la unidad. Una fracción tiene dos términos, numerador y

Más detalles

Qué son los monomios?

Qué son los monomios? Qué son los monomios? Recordemos qué es una expresión algebraica. Definición Una expresión algebraica es aquella en la que se utilizan letras, números y signos de operaciones. Si se observan las siguientes

Más detalles

OBJETIVOS CONTENIDOS PROCEDIMIENTOS. Cálculo de los múltiplos y divisores de un número. Criterios de divisibilidad por 2, 3, 5 y 10.

OBJETIVOS CONTENIDOS PROCEDIMIENTOS. Cálculo de los múltiplos y divisores de un número. Criterios de divisibilidad por 2, 3, 5 y 10. _ 9-.qxd //7 9:7 Página 9 Divisibilidad INTRODUCCIÓN El concepto de divisibilidad requiere dominar la multiplicación, división y potenciación de números naturales. Es fundamental dedicar el tiempo necesario

Más detalles

CUADERNILLO DE VERANO MATEMÁTICAS 1º ESO

CUADERNILLO DE VERANO MATEMÁTICAS 1º ESO CUADERNILLO DE VERANO MATEMÁTICAS 1º ESO Potencias y raíces. Expresa en forma de potencia: a) 7 7 7 7 = b) 8 8 8 8 8 8 8 = c) 6 6 6 6 6 = d) 5 5 5 5 = e) 9 9 9 = f) 3 3 = Calcula las siguientes potencias:

Más detalles

TEMA 2 POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS

TEMA 2 POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS Matemáticas B 4º E.S.O. Tema : Polinomios y fracciones algebraicas. 1 TEMA POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS.1 COCIENTE DE POLINOMIOS 4º.1.1 COCIENTE DE MONOMIOS 4º El cociente de un monomio entre otro

Más detalles

Programa para el Mejoramiento de la Enseñanza de la Matemática en ANEP Proyecto: Análisis, Reflexión y Producción. Fracciones

Programa para el Mejoramiento de la Enseñanza de la Matemática en ANEP Proyecto: Análisis, Reflexión y Producción. Fracciones Fracciones. Las fracciones y los números Racionales Las fracciones se utilizan cotidianamente en contextos relacionados con la medida, el reparto o como forma de relacionar dos cantidades. Tenemos entonces

Más detalles

EJERCICIOS DE REPASO 2º ESO

EJERCICIOS DE REPASO 2º ESO NOMBRE: CURSO: 0-0 EJERCICIOS DE REPASO º ESO.- Calcula, poniendo los pasos que haces, no sólo el resultado: a ) - ( - ) + 8 ( - ) = b) ( - 8 ) [ 7 + ( - 9 ) ] = c) 7 ( 8 ) + : ( - + 7 ) = d) 6 : ( 8 )

Más detalles

Tema 04:Fracciones. Primero de Educación Secundaria Obligatoria. I.e.s Fuentesaúco.

Tema 04:Fracciones. Primero de Educación Secundaria Obligatoria. I.e.s Fuentesaúco. 2010 Tema 04:Fracciones. Primero de Educación Secundaria Obligatoria. I.e.s Fuentesaúco. Manuel González de León. mgdl 01/01/2010 . INDICE: 01. APARICIÓN DE LAS FRACCIONES. 02. CONCEPTO DE FRACCIÓN. 03.

Más detalles

LAS FRACCIONES. Si queremos calcular la fracción de un número dividimos el número por el denominador y el resultado lo multiplicamos por el numerador.

LAS FRACCIONES. Si queremos calcular la fracción de un número dividimos el número por el denominador y el resultado lo multiplicamos por el numerador. LAS FRACCIONES LAS FRACCIONES Y SUS TÉRMINOS Los términos de una fracción se llaman numerador y denominador. El denominador indica el número de partes iguales en que se divide la unidad. El numerador indica

Más detalles

Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos

Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 13 13 V a l o r n u m é r i c o Valor numérico de expresiones compuestas P r o c e d i m i e n t o 1. Se reemplaza cada letra por su valor numérico 2. Se efectúan las operaciones indicadas Hallar

Más detalles

EJERCICIOS SOBRE : FRACCIONES

EJERCICIOS SOBRE : FRACCIONES 1.- Introducción a las fracciones: Las fracciones representan siempre una cierta parte de algo. Ese algo es la unidad que elegimos. Ejemplo: _ Dos 1 / 2 litros de leche. _ Sólo tiene 1/ 2 pastilla 2.-

Más detalles

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

EXPRESIONES ALGEBRAICAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS Un grupo de variables representadas por letras junto con un conjunto de números combinados con operaciones de suma, resta, multiplicación, división, potencia o etracción de raíces

Más detalles

FUNCIONES DE PROPORCIONALIDAD

FUNCIONES DE PROPORCIONALIDAD UNIDAD 2 PROPORCIONALIDAD. FUNCIONES DE PROPORCIONALIDAD 1.- INTRODUCCIÓN Continuamente hacemos uso de las magnitudes físicas cuando nos referimos a diversas situaciones como medida de distancias (longitud),

Más detalles

MATEMÁTICAS CONTENIDOS MÍNIMOS DE 1º E.S.O.

MATEMÁTICAS CONTENIDOS MÍNIMOS DE 1º E.S.O. MATEMÁTICAS CONTENIDOS MÍNIMOS DE 1º E.S.O. Calcular el valor de posición de cualquier cifra en cualquier número natural. Aplicar las propiedades fundamentales de la suma, resta, multiplicación y división

Más detalles

Programa de Algebra Superior Caracterización de la asignatura: Esta materia se agregó al plan de estudios de las ingenierías como reforzamiento de

Programa de Algebra Superior Caracterización de la asignatura: Esta materia se agregó al plan de estudios de las ingenierías como reforzamiento de Programa de Algebra Superior Caracterización de la asignatura: Esta materia se agregó al plan de estudios de las ingenierías como reforzamiento de las bases matemáticas para mejorar el aprendizaje de los

Más detalles

Las fracciones. 1. Concepto de fracción. Cuatro personas se van a comer a partes iguales una tarta. Qué parte le corresponde a cada una?

Las fracciones. 1. Concepto de fracción. Cuatro personas se van a comer a partes iguales una tarta. Qué parte le corresponde a cada una? Las fracciones. Concepto de fracción Cuatro personas se van a comer a partes iguales una tarta. Qué parte le corresponde a cada una? P I E N S A Y C A L C U L A / Carné calculista 0 : C = 8; R = A P L

Más detalles

UNIDAD 1. LOS NÚMEROS ENTEROS.

UNIDAD 1. LOS NÚMEROS ENTEROS. UNIDAD 1. LOS NÚMEROS ENTEROS. Al final deberás haber aprendido... Interpretar y expresar números enteros. Representar números enteros en la recta numérica. Comparar y ordenar números enteros. Realizar

Más detalles

I.E.S. SALVADOR RUEDA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS

I.E.S. SALVADOR RUEDA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS PLAN DE TRABAJO PARA RECUPERAR LAS MATEMÁTICAS DE º ESO El profesor/a de la asignatura se encargará de ir evaluando al alumno/a con la asignatura pendiente en la forma que le indique: realización de exámenes,

Más detalles

2. Números enteros, fracciones y decimales

2. Números enteros, fracciones y decimales Matemáticas de NIVEL I Números enteros, fracciones y decimales - 1 2. Números enteros, fracciones y decimales 1. Números enteros En la vida cotidiana surgen situaciones numéricas que no se pueden expresar

Más detalles

Lección 4: Suma y resta de números racionales

Lección 4: Suma y resta de números racionales GUÍA DE MATEMÁTICAS II Lección : Suma y resta de números racionales En esta lección recordaremos cómo sumar y restar números racionales. Como los racionales pueden estar representados como fracción o decimal,

Más detalles

UNIDAD 2. LOS NÚMEROS RACIONALES.

UNIDAD 2. LOS NÚMEROS RACIONALES. IES Prof. Juan Bautista Matemáticas º (Ver. ) Unidad : Los números racionles UNIDAD. LOS NÚMEROS RACIONALES. Unidad : Los números racionales Al final deberás haber aprendido... Usar y operar con fracciones

Más detalles

Polinomios y Ecuaciones

Polinomios y Ecuaciones Ejercicios de Cálculo 0 Prof. María D. Ferrer G. Polinomios y Ecuaciones.. Polinomios: Un polinomio o función polinómica es una epresión de la forma: n n n P a a a a a a = n + n + n + + + + 0 () Los números

Más detalles

LOS NÚMEROS. Naturales, Divisibilidad Enteros. Fracciones, Decimales. Sistema Métrico Decimal

LOS NÚMEROS. Naturales, Divisibilidad Enteros. Fracciones, Decimales. Sistema Métrico Decimal LOS NÚMEROS Naturales, Divisibilidad Enteros Fracciones, Decimales Sistema Métrico Decimal 1 Los números naturales permiten cuantificar y reflejar ciertas magnitudes. El número de personas, el número de

Más detalles

ES OBLIGATORIA LA RESOLUCIÓN COMPLETA DE CADA EJERCICIO (PLANTEAMIENTO, DESARROLLO Y SOLUCIÓN) DE FORMA CLARA Y CONCISA.

ES OBLIGATORIA LA RESOLUCIÓN COMPLETA DE CADA EJERCICIO (PLANTEAMIENTO, DESARROLLO Y SOLUCIÓN) DE FORMA CLARA Y CONCISA. EJERCICIOS DE REPASO MATEMÁTICAS.- º ESO ES OBLIGATORIA LA RESOLUCIÓN COMPLETA DE CADA EJERCICIO (PLANTEAMIENTO DESARROLLO Y SOLUCIÓN) DE FORMA CLARA Y CONCISA.. Sergio trabaja horas todas las semanas

Más detalles

Tema 2: Fracciones y proporciones

Tema 2: Fracciones y proporciones Tema 2: Fracciones y proporciones Fracciones Números racionales Números decimales Razones y proporciones Porcentajes 1 2 Las fracciones: un objeto, varias interpretaciones (1) Parte de un todo (2) Un reparto

Más detalles

EXPRESIONES ALGEBRAICAS. POLINOMIOS

EXPRESIONES ALGEBRAICAS. POLINOMIOS EXPRESIONES ALGEBRAICAS. POLINOMIOS 1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS. Estas expresiones del área son expresiones algebraicas, ya que además de números aparecen letras. Son también expresiones algebraicas: bac,

Más detalles

Coeficientes 43 X = 43 X partes literales - 7 a 3 = - 7 a 3

Coeficientes 43 X = 43 X partes literales - 7 a 3 = - 7 a 3 APUNTES Y EJERCICIOS DEL TEMA 3 1-T 3--2ºESO EXPRESIONES ALGEBRAICAS: Son combinaciones de n os y letras unidos con operaciones matemáticas (aritméticas), que generalmente suelen ser sumas, restas, multiplicaciones

Más detalles

PÁGINA 77 PARA EMPEZAR

PÁGINA 77 PARA EMPEZAR Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 77 Pág. 1 PARA EMPEZAR El arte cósico Vamos a practicar el arte cósico : Si a 16 veces la cosa le sumamos 5, obtenemos el mismo resultado que si multiplicamos

Más detalles

Tema 3. Polinomios y fracciones algebraicas

Tema 3. Polinomios y fracciones algebraicas Tema. Polinomios y fracciones algebraicas. Monomios.. Definiciones.. Operaciones con monomios. Polinomios.. Definiciones.. Operaciones con polinomios. Factorización de un polinomio.. Teorema del resto.

Más detalles

1. HABILIDAD MATEMÁTICA

1. HABILIDAD MATEMÁTICA HABILIDAD MATEMÁTICA SUCESIONES, SERIES Y PATRONES. HABILIDAD MATEMÁTICA Una serie es un conjunto de números, literales o dibujos ordenados de tal manera que cualquiera de ellos puede ser definido por

Más detalles

BLOQUE 1: REPASO DE CONCEPTOS ELEMENTALES DE CÁLCULO

BLOQUE 1: REPASO DE CONCEPTOS ELEMENTALES DE CÁLCULO 1 BLOQUE 1: REPASO DE CONCEPTOS ELEMENTALES DE CÁLCULO UNIDAD 1: LOS NÚMEROS (I). 1.1 Concepto de número. Sistema de numeración decimal 1.2 Divisibilidad. Concepto de múltiplo y divisor. Números primos.

Más detalles

martilloatomico@gmail.com

martilloatomico@gmail.com Titulo: OPERACIONES CON POLINOMIOS (Reducción de términos semejantes, suma y resta de polinomios, signos de agrupación, multiplicación y división de polinomios) Año escolar: 2do: año de bachillerato Autor:

Más detalles

PARA EMPEZAR. Escribe con el mismo denominador y ordena de menor a mayor las siguientes fracciones: 5 6, 7 9, 1 , 7 8 4, 0, 1, 2, 9

PARA EMPEZAR. Escribe con el mismo denominador y ordena de menor a mayor las siguientes fracciones: 5 6, 7 9, 1 , 7 8 4, 0, 1, 2, 9 5 INECUACIONES PARA EMPEZAR 1 Escribe con el mismo denominador y ordena de menor a mayor las siguientes fracciones: 7 Si sumas a cada fracción, se mantiene el orden? 0 5 6, 7 9, 1 15 El denominador común

Más detalles

Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas

Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas Si decimos: "las edades de mis padres suman 120 años", podemos expresar esta frase algebraicamente de la siguiente forma: Entonces, Denominamos x a la edad

Más detalles

Una fracción puede interpretarse como parte de un total, como medida y como operador de OBJETIVOS CONTENIDOS PROCEDIMIENTOS

Una fracción puede interpretarse como parte de un total, como medida y como operador de OBJETIVOS CONTENIDOS PROCEDIMIENTOS _ 0-0.qxd //0 0: Página racciones INTRODUCCIÓN Con el empleo de las fracciones se observa la utilidad de los conceptos estudiados como, por ejemplo, las operaciones básicas con números naturales o el cálculo

Más detalles

I.E.S. Miguel de Cervantes (Granada) Departamento de Matemáticas GBG 1

I.E.S. Miguel de Cervantes (Granada) Departamento de Matemáticas GBG 1 ECUACIONES Y SISTEMAS. PROBLEMAS 1. El lado de un cuadrado mide 3 m más que el lado de otro cuadrado. Si la suma de las dos áreas es 89 m, calcula las dimensiones de los cuadrados.. La suma de dos números

Más detalles

Los números racionales son todos aquellos números de la forma a con a y b números enteros y b

Los números racionales son todos aquellos números de la forma a con a y b números enteros y b Números racionales NÚMEROS RACIONALES Los números racionales son todos aquellos números de la forma a con a y b números enteros y b b distinto de cero. El conjunto de los números racionales se representa

Más detalles

Calcular con fracciones para todos

Calcular con fracciones para todos Calcular con fracciones para todos 1 Calcular con fracciones para todos M. Riat riat@pobox.com Versión 1.0 Burriana, 2014 Calcular con fracciones para todos 2 ÍNDICE DE CAPÍTULOS Índice de capítulos...

Más detalles

Colegio Las Tablas Tarea de verano Matemáticas 3º ESO

Colegio Las Tablas Tarea de verano Matemáticas 3º ESO Colegio Las Tablas Tarea de verano Matemáticas º ESO Nombre: C o l e g i o L a s T a b l a s Tarea de verano Matemáticas º ESO Resolver la siguiente ecuación: 5 5 6 Multiplicando por el mcm(,,6) = 6 y

Más detalles

Polinomios y fracciones algebraicas

Polinomios y fracciones algebraicas Polinomios y fracciones algebraicas POLINOMIOS SUMA, RESTA Y MULTIPLICACIÓN POTENCIAS DIVISIÓN REGLA DE RUFFINI DIVISORES DE UN POLINOMIO FACTORIZACIÓN DE UN POLINOMIO VALOR NUMÉRICO DE UN POLINOMIO TEOREMA

Más detalles

EJERCICIOS PROPUESTOS. c) 5 2 d) 5 2 3

EJERCICIOS PROPUESTOS. c) 5 2 d) 5 2 3 Potencias y raíces EJERCICIOS PROPUESTOS. Escribe como potencias positivas las negativas, y viceversa. a) 8 b) 6 a) b) 6 c) 8 c) d) d). Expresa estas potencias como potencias únicas y calcula las operaciones.

Más detalles

a) Un número par I) 2n 1 b) Un número impar II) x, x 1 c) Un número y el que le sigue III) 3a d) El triple de un número IV) 2z x 6 b) e)

a) Un número par I) 2n 1 b) Un número impar II) x, x 1 c) Un número y el que le sigue III) 3a d) El triple de un número IV) 2z x 6 b) e) Polinomios El 6 de septiembre del 00 se celebró el gran Premio de Singapur, la 5.ª prueba del mundial de Fórmula. La carrera constaba de 6 vueltas a un circuito de 5 067 m de longitud. Fernando Alonso,

Más detalles

1.. VALOR POSICIONAL DE CADA CIFRA EN UN NÚMERO DECIMAL.

1.. VALOR POSICIONAL DE CADA CIFRA EN UN NÚMERO DECIMAL. 1.. VALOR POSICIONAL DE CADA CIFRA EN UN NÚMERO DECIMAL. Un número decimal tiene dos partes: una parte entera, a la izquierda de la coma y una parte decimal a la derecha de la coma. Lectura y escritura.

Más detalles

REFUERZO MATEMÁTICAS 2º ESO CURSO: 2009/2010 PROFESOR: MARÍA DE LA ROSA SÁNCHEZ

REFUERZO MATEMÁTICAS 2º ESO CURSO: 2009/2010 PROFESOR: MARÍA DE LA ROSA SÁNCHEZ REFUERZO MATEMÁTICAS º ESO CURSO: 009/010 PROFESOR: MARÍA DE LA ROSA SÁNCHEZ SUMA Y RESTA DE NÚMEROS ENTEROS... POTENCIAS... 6 FRACCIONES... 8 FRACCIONES EQUIVALENTES... 8 SUMA DE FRACCIONES... 9 PRODUCTO

Más detalles

Divisibilidad y números primos

Divisibilidad y números primos Divisibilidad y números primos Divisibilidad En muchos problemas es necesario saber si el reparto de varios elementos en diferentes grupos se puede hacer equitativamente, es decir, si el número de elementos

Más detalles

NOMBRE Y APELLIDOS. 8. En una papelería, una docena de lápices cuesta 13. Cuál es el precio total de la venta de 288 lápices?

NOMBRE Y APELLIDOS. 8. En una papelería, una docena de lápices cuesta 13. Cuál es el precio total de la venta de 288 lápices? NOMBRE Y APELLIDOS FECHA CURSO: RECUPERACIÓN 1ª ESO 1. Escribe en Romano los siguientes números a) 258 b) 2013 c) 42 d) 1589 2. Indica el valor de posición de la cifra 7 en cada uno de estos números: a)

Más detalles

POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS

POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS Página 66 PARA EMPEZAR, REFLEXIONA Y RESUELVE Múltiplos y divisores. Haz la división: 4 + 5 0 + 5 A la vista del resultado, di dos divisores del polinomio 4 + 5 0. (

Más detalles

CAPÍTULO I MATEMÁTICAS

CAPÍTULO I MATEMÁTICAS CAPÍTULO I MATEMÁTICAS 1. CONJUNTOS En el lenguaje común, conjunto es, hasta cierto punto, sinónimo de colección, clase o grupo. Sin embargo, en el desarrollo de este estudio, veremos que la noción matemática

Más detalles

Ecuaciones de primer y segundo grado

Ecuaciones de primer y segundo grado Ecuaciones de primer y segundo grado El fin del mundo En octubre de la cárcel de Wittenberg acogió una curiosa reunión: allí estaba Lutero visitando a su íntimo amigo Michael Stifel. Este, aplicando a

Más detalles

Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas

Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas Una ecuación lineal con dos incógnitas es una epresión de la forma a b c donde a, b c son los coeficientes (números) e son las incógnitas. Gráficamente

Más detalles

Nombre del polinomio. uno monomio 17 x 5 dos binomio 2x 3 6x tres trinomio x 4 x 2 + 2

Nombre del polinomio. uno monomio 17 x 5 dos binomio 2x 3 6x tres trinomio x 4 x 2 + 2 SISTEMA DE ACCESO COMÚN A LAS CARRERAS DE INGENIERÍA DE LA UNaM III. UNIDAD : FUNCIONES POLINÓMICAS III..1 POLINOMIOS La expresión 5x + 7 x + 4x 1 recibe el nombre de polinomio en la variable x. Es de

Más detalles

Polinomios. Objetivos. Antes de empezar. 1.Expresiones algebraicas pág. 64 De expresiones a ecuaciones Valor numérico Expresión en coeficientes

Polinomios. Objetivos. Antes de empezar. 1.Expresiones algebraicas pág. 64 De expresiones a ecuaciones Valor numérico Expresión en coeficientes 4 Polinomios Objetivos En esta quincena aprenderás: A trabajar con expresiones literales para la obtención de valores concretos en fórmulas y ecuaciones en diferentes contextos. La regla de Ruffini. El

Más detalles

Una fracción es una expresión que nos indica que, de un total dividido en partes iguales, escogemos sólo algunas de esas partes.

Una fracción es una expresión que nos indica que, de un total dividido en partes iguales, escogemos sólo algunas de esas partes. FRACCIONES 1. LAS FRACCIONES. 1.1. CONCEPTO. Una fracción es una expresión que nos indica que, de un total dividido en partes iguales, escogemos sólo algunas de esas partes. Una fracción también es una

Más detalles

3. Un número x dividido por 12 da como cociente 7 y resto 9. a) Halla x b) Qué número tienes que sumar a x para que la división por 12 sea exacta?

3. Un número x dividido por 12 da como cociente 7 y resto 9. a) Halla x b) Qué número tienes que sumar a x para que la división por 12 sea exacta? . a) Expresa en forma polinómica: 8 b) Representa en el sistema binario el número. a) Calcula: (+).()+.(4) b) Escribe en forma de potencia: 6. Un número x dividido por da como cociente 7 y resto 9. a)

Más detalles

Este documento ha sido generado para facilitar la impresión de los contenidos. Los enlaces a otras páginas no serán funcionales.

Este documento ha sido generado para facilitar la impresión de los contenidos. Los enlaces a otras páginas no serán funcionales. Este documento ha sido generado para facilitar la impresión de los contenidos. Los enlaces a otras páginas no serán funcionales. Introducción Por qué La Geometría? La Geometría tiene como objetivo fundamental

Más detalles

Matemáticas. Currículum Universal. Índice de contenidos 08-09 años 2013-2014. Índice de contenidos 10-11 años 2013-2014

Matemáticas. Currículum Universal. Índice de contenidos 08-09 años 2013-2014. Índice de contenidos 10-11 años 2013-2014 Matemáticas Currículum Universal Índice de contenidos 08-09 años 2013-2014 Índice de contenidos 10-11 años 2013-2014 Índice de contenidos 12-14 años 2013-2014 Índice de contenidos 14-16 años 2013-2014

Más detalles

) = 5. Operaciones con polinomios 54 SOLUCIONARIO 1. POLINOMIOS. SUMA Y RESTA 2. MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS

) = 5. Operaciones con polinomios 54 SOLUCIONARIO 1. POLINOMIOS. SUMA Y RESTA 2. MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS 54 SOLUCIONARIO 5. Operaciones con polinomios. POLINOMIOS. SUMA RESTA PIENSA CALCULA Dado el cubo de la figura, calcula en función de : a) El área. b) El volumen. a) A ( ) = 6 b) V ( ) = CARNÉ CALCULISTA

Más detalles

Descomposición factorial de polinomios

Descomposición factorial de polinomios Descomposición factorial de polinomios Contenidos del tema Introducción Sacar factor común Productos notables Fórmula de la ecuación de segundo grado Método de Ruffini y Teorema del Resto Combinación de

Más detalles

Ecuaciones de segundo grado

Ecuaciones de segundo grado 3 Ecuaciones de segundo grado Objetivos En esta quincena aprenderás a: Identificar las soluciones de una ecuación. Reconocer y obtener ecuaciones equivalentes. Resolver ecuaciones de primer grado Resolver

Más detalles

UNIDAD I NÚMEROS REALES

UNIDAD I NÚMEROS REALES UNIDAD I NÚMEROS REALES Los números que se utilizan en el álgebra son los números reales. Hay un número real en cada punto de la recta numérica. Los números reales se dividen en números racionales y números

Más detalles

UNIDAD DIDÁCTICA 9ª. Objetivos didácticos. Al finalizar el tema serás capaz de:

UNIDAD DIDÁCTICA 9ª. Objetivos didácticos. Al finalizar el tema serás capaz de: UNIDAD DIDÁCTICA 9ª Etapa: Educación Primaria. Ciclo: 3º Curso 6º Área del conocimiento: Matemáticas Nº UD: 9ª (8 sesiones de 60 minutos; a cuatro sesiones por semana) Título: Los ángulos y sus medidas.

Más detalles

OBJETIVOS CONTENIDOS PROCEDIMIENTOS

OBJETIVOS CONTENIDOS PROCEDIMIENTOS _ 0-00.qxd //0 : Página racciones INTRODUCCIÓN En esta unidad se presenta el concepto de fracción como resultado de varios significados: como parte de un todo o unidad, como valor decimal (cociente) y

Más detalles

Polinomios: Definición: Se llama polinomio en "x" de grado "n" a una expresión del tipo

Polinomios: Definición: Se llama polinomio en x de grado n a una expresión del tipo Polinomios: Definición: Se llama polinomio en "x" de grado "n" a una expresión del tipo P (x) = a 0 x n + a 1 x n 1 +... + a n Donde n N (número natural) ; a 0, a 1, a 2,..., a n son coeficientes reales

Más detalles

EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS PARA ALUMNOS/AS CON LAS MATEMÁTICAS DE 3º ESO PENDIENTES PRIMER PARCIAL

EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS PARA ALUMNOS/AS CON LAS MATEMÁTICAS DE 3º ESO PENDIENTES PRIMER PARCIAL de º de E.S.O. EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS PARA ALUMNOS/AS CON LAS MATEMÁTICAS DE º ESO PENDIENTES PRIMER PARCIAL Fecha tope para entregarlos de enero de 0 Examen de enero de 0 I.E.S. SERPIS DEPARTAMENTO

Más detalles

HIgualdades y ecuacionesh. HElementos de una ecuaciónh. HEcuaciones equivalentes. HSin denominadoresh. HCon denominadoresh

HIgualdades y ecuacionesh. HElementos de una ecuaciónh. HEcuaciones equivalentes. HSin denominadoresh. HCon denominadoresh 6 Ecuaciones Objetivos En esta quincena aprenderás a: Reconocer situaciones que pueden resolverse con ecuaciones Traducir al lenguaje matemático enunciados del lenguaje ordinario. Conocer los elementos

Más detalles

PROBLEMAS ORIENTATIVOS PARA EL EXAMEN DE INGRESO AL CICLO FORMATIVO DE GRADO MEDIO

PROBLEMAS ORIENTATIVOS PARA EL EXAMEN DE INGRESO AL CICLO FORMATIVO DE GRADO MEDIO OPERACIONES BÁSICAS CON NÚMEROS NATURALES, ENTEROS, DECIMALES Y FRACCIONES (SUMA, RESTA, MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN) Y OPERACIONES COMBINADAS DE LAS ANTERIORES. 1. Realizar las siguientes operaciones con

Más detalles

EJERCICIOS SOBRE : PROBLEMAS ECUACIONES DE PRIMER GRADO

EJERCICIOS SOBRE : PROBLEMAS ECUACIONES DE PRIMER GRADO 1) Calcular tres números consecutivos cuya suma sea 1. ) Las edades de dos hermanos suman 49 años. Calcularlas sabiendo que la edad de uno es superior en años a la del otro. ) Descomponer el número 171

Más detalles

NÚMEROS Y OPERACIONES

NÚMEROS Y OPERACIONES NÚMEROS Y OPERACIONES NUESTRO SISTEMA DE NUMERACIÓN Para escribir un número usamos sólo diez cifras, que son: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 El número 2 1 403.745 está formado por siete órdenes de unidades.

Más detalles

3 Polinomios y fracciones algebráicas

3 Polinomios y fracciones algebráicas Solucionario 3 Polinomios y fracciones algebráicas ACTIVIDADES INICIALES 3.I. Para cada uno de los siguientes monomios, indica las variables, el grado y el coeficiente, y calcula el valor numérico de los

Más detalles

C.A.R.E.I. Centro Aragonés de Recursos para la Educación Intercultural Documento facilitado por Grupo de Trabajo de CPR Huesca 1.

C.A.R.E.I. Centro Aragonés de Recursos para la Educación Intercultural Documento facilitado por Grupo de Trabajo de CPR Huesca 1. 1.º PRIMARIA AREA DE MATEMÁTICAS Concepto de número. Cálculo mental El evaluador, lee el problema y anota la respuesta. El niño lo debe resolver mentalmente, contando o no con los dedos se anotará si lo

Más detalles

Múltiplos y divisores

Múltiplos y divisores 2 Múltiplos y divisores Objetivos En esta quincena aprenderás a: Saber si un número es múltiplo de otro. Reconocer las divisiones exactas. Hallar todos los divisores de un número. Reconocer los números

Más detalles

SOLUCIONES. Matemáticas 3 EDUCACIÓN SECUNDARIA 1 3 1 1 3, 4 2,3 + : a) Expresamos N = 2,3 en forma de fracción: 10 N = 23,333 N = 2,333 21 7 = + = =

SOLUCIONES. Matemáticas 3 EDUCACIÓN SECUNDARIA 1 3 1 1 3, 4 2,3 + : a) Expresamos N = 2,3 en forma de fracción: 10 N = 23,333 N = 2,333 21 7 = + = = Matemáticas EDUCACIÓN SECUNDARIA Opción A SOLUCIONES Evaluación: Fecha: Ejercicio nº 1.- a) Opera y simplifica: 1 1 1, 4, + : 5 b) Reduce a una sola potencia: 4 1 5 5 0 a) Expresamos N =, en forma de fracción:

Más detalles

CURSO: MÉTODO ABN. Tercer ciclo 1º ESO. (Por unas matemáticas sencillas, naturales y divertidas) MARIA C. CANTO LÓPEZ

CURSO: MÉTODO ABN. Tercer ciclo 1º ESO. (Por unas matemáticas sencillas, naturales y divertidas) MARIA C. CANTO LÓPEZ CURSO: MÉTODO ABN Tercer ciclo 1º ESO (Por unas matemáticas sencillas, naturales y divertidas) MARIA C. CANTO LÓPEZ Doctoranda Departamento de Psicología UCA INDICE 1. División:... 2 División por estimación-descomposición...

Más detalles
SitemapDeadpool 2 (Super Duper Cut) (2018) | Металлические ремесла | S.H. Kolee