Guía de Estudios de Algebra


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1 Guía de Estudios de Algebra Licenciatura en Optometría ALTUZAR INGENERIA

2 Índice Presentación... 3 Propósito... 3 Criterios de Evaluación... 3 Bloque Uno: Fundamentos algebraicos... 4 Propósito... 4 Actividades pedagógicas Conceptos fundamentales Expresión algebraica Términos semejantes Monomios, binomios y trinomios Reducción de Signos de Agrupación Reducción de términos semejantes Las cuatro operaciones básicas con monomios y polinomios Productos Notables Factorización Factorizar un monomio Factorizar un polinomio Actividades de aprendizaje Bloque dos: Ecuaciones Lineales Propósito Actividades pedagógicas Ecuación de primer grado Ecuación de primer grado con una incógnita Clasificación de ecuaciones lineales Resolución de una ecuación Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas Introducción Métodos de resolución Actividades de Aprendizaje Bloque Tres: Potenciación y Radicación Propósito Actividades pedagógicas Potenciación Introducción Signo de las potencias Potencia de monomio y polinomio Propiedades de las potencias Radicación... 61

3 Introducción Signos de las raíces Propiedades de los radicales Reducción de radicales Operaciones con radicales Racionalización Actividades de Aprendizaje Bibliografía... 61

4 Presentación Aunque los estudiantes ya han estudiado el lenguaje numérico y algebraico. Este hecho va a suponer un esfuerzo significativo en el razonamiento abstracto de los alumnos, por lo que hay que introducir gradualmente el uso de letras por números, aproximándose a estos conceptos con ejemplos sencillos y de la vida cotidiana hasta que se generalice el procedimiento. Realizar con agilidad las operaciones aritméticas con números naturales y enteros servirá de apoyo para sumar, restar, multiplicar y dividir monomios. Métodos tales como los de ensayo-error y el cálculo mental reforzarán las operaciones con monomios. La resolución de ecuaciones de primer grado es uno de los objetivos de la unidad. Primero se resolverán ecuaciones sencillas por tanteo y, posteriormente, se utilizarán las reglas básicas para resolver ecuaciones más complejas Propósito Que el estudiante desarrolle el razonamiento matemático, mediante la resolución de problemas de la vida cotidiana, dentro y fuera de su contexto, para desarrollar el pensamiento lógico en un ambiente de colaboración y respeto. Criterios de Evaluación Examen escrito: 40% Actividades de la Guía 40% Participación en Clases: 20%

5 Bloque Uno: Fundamentos algebraicos Propósito El estudiante define, analiza e interpreta los fundamentos básicos del algebra en la resolución de problemas para desarrollar un razonamiento matemático. Actividades pedagógicas Instrucciones: lee cuidadosamente cada una de las preguntas y contesta brevemente. 1. Cuál es la diferencia entre algebra y Aritmética? 2. Cuáles son las operaciones que realiza el álgebra? 3. Qué es una expresión algebraica? 4. Qué es una constante? 5. Qué es un variables? 6. Cuáles son las letras que se usan para las constantes? 7. Cuáles son las letras que se usan para las variables?

6 1.1.- Conceptos fundamentales Propósito El estudiante define, analiza los conceptos fundamentales de algebra como herramienta fundamental para la solución de problemas logrando en el estudiante un razonamiento matemático. Álgebra Es la rama de la Matemática que estudia la cantidad considerada del modo más general posible. El concepto de la cantidad en Álgebra es mucho más amplio que en Aritmética. En Aritmética las cantidades se representan por números y éstos expresan valores determinados. Así, 20 expresa un solo valor: veinte; para expresar un valor mayor o menor que éste habrá que escribir un número distinto de 20. En Álgebra, para lograr la generalización, las cantidades se representan por medio de letras, las cuales pueden representar todos los valores. Así, a representa el valor que nosotros le asignemos, y por lo tanto puede representar 20 o más de 20 o menos de 20, a nuestra elección, aunque conviene advertir que cuando en un problema asignamos a una letra un valor determinado, esa letra no puede representar, en el mismo problema, otro valor distinto del que le hemos asignado. Los símbolos usados en Álgebra para representar las cantidades son los números y las letras. Los números se emplean para representar cantidades conocidas y determinadas. Las letras se emplean para representar toda clase de cantidades, ya sean conocidas o desconocidas.

7 Una misma letra puede representar distintos valores diferenciándolos por medio de comillas ( a, a,a ) o también por medio de subíndices ( X1, X2, X3 ). Con las cantidades algebraicas, representadas por letras, se pueden hacer las mismas operaciones que con los números aritméticos. Signos del álgebra Los signos empleados en algebra son de tres clases: signos de operación, signos de relación y signos de agrupación. Los signos de operación.- En el álgebra se verifican las mismas operaciones que la aritmética y por lo tanto se utilizan los mismos signos que son: la Suma, Resta, Multiplicación, siguientes signos: División, Potenciación y Radicación, que se indican con los Operación Signo Suma + que se lee más Resta - que se lee menos Multiplicación x que se lee multiplicado por División que se lee dividido entre Potenciación a 3 Radicación a Los signos de relación.- Se emplean estos signos para indicar la relación que existe entre dos cantidades. Los principales son: =, que se lee igual a. Así, a = b se lee a igual b >, que se lee mayor que. Así, x + y >m se lee x + y mayor que m <, que se lee menor que. Así, a < b + c se lee a menor que b + c Los signos de agrupación.- Se emplean para agrupar las operaciones que se realizan antes y después, estos son los siguientes: Paréntesis ( )

8 Corchetes [ ] Llaves { } Barra o vinculo Expresión algebraica Expresión Algebraica.- Es la representación de un símbolo algebraico o de una o más operaciones algebraicas s: a, 5x, 4a, (a + b)c, x 2, (5x 2y)a 2x Término.- Es un conjunto formado por los cuatro elementos siguientes s 3x 2 es un término: tiene signo negativo, el coeficiente es 3, la parte literal es x y su exponente es 2. +2a es un término: tiene signo positivo, coeficiente 2, parte literal a y aunque no se observa ningún exponente se sobre entiende que tiene exponente 1 (en álgebra a 1 = a). 7n 5 es un término: aunque no se observa el signo se sobre entiende que es positivo, el coeficiente es 7, la parte literal es n y su exponente es 5.

9 x es un término: aunque no se observa el signo se sobre entiende que es positivo, aunque no se observa el coeficiente se sobre entiende que es 1, la parte literal es x y aunque no se observa ningún exponente se sobre entiende que tiene exponente 1 (recuerde que x 1 = x) Términos semejantes Termino semejante: Dos términos son semejantes cuando tienen la misma parte literal y el mismo exponente. s: 3x 2 y 7x 2 son términos semejantes, ambos tienen parte literal x y exponente 2 (x 2 = x 2 ). 5xy ; 8xy; 72xy son términos semejantes, todos tienen la misma parte literal (xy) y el mismo exponente en cada una de las dos letras. 7x 2 y 2 y 2x 2 y 2 son términos semejantes, todos tienen la misma parte literal (xy) y el mismo exponente en cada una de las dos letras ( x tiene exponente 4 y y exponente 2 ). 6x 2 y 8x 3 NO son términos semejantes, ambos tienen parte literal X pero el exponente es distinto (x 2 x 3 ). 4x 2 y 4y 2 NO son términos semejantes, ambos tienen exponente 2 pero distinta parte literal (x 2 y 2 ).

10 7n 3 y 2 y 2n 2 y 3 NO son términos semejantes, porque aunque tienen la misma parte literal ( ny ) el exponente en cada una de las dos letras es distinto (n 3 n 2 ; y 2 y 3 ) Monomios, binomios y trinomios Las expresiones algebraicas reciben nombres específicos dependiendo del número de términos que lo componen y estos son los siguientes: Monomio.- Es una expresión algebraica que consta de un solo término. s: 3a, 9b, x 2, 5x 3 y 5 Binomio.- Es un polinomio que consta de dos términos. s: a + b, x y Trinomio.- Es un polinomio que consta de tres términos. s: a + b c, x y + 6 Polinomio.- Es una expresión algebraica que consta de más de un término. s: a + b, a + x y, x 3 + 2x 2 + x y

11 Otra forma de nombra las expresiones algebraicas dependen del grado de un polinomio puede ser absoluto y con relación a una letra. Grado absoluto de un polinomio es el grado de su término de mayor grado. Así, en el polinomio x 4 5x 3 + x 2 3x el primer término es de cuarto grado; el segundo, de tercer grado; el tercero, de segundo grado, y el último, de primer grado; luego, el grado absoluto del polinomio es el cuarto. Según el grado absoluto a las expresiones algebraicas se les puede nombrar de la siguiente manera: Cuando el grado del exponente del termino literal es 1 se dice que es primer grado o lineal. Cuando el grado del exponente mayor del término literal es 2 se dice que es de segundo grado o cuadrática. Cuando el grado del exponente mayor del término literal es 3 se dice que el de tercer grado o cubica. Cuando el grado del exponente mayor del término literal es 4 o mayor se dice que es una expresión polinomial. Grado de un polinomio con relación a una letra es el mayor exponente de dicha letra en el polinomio. Así, el polinomio a 6 + a 4 x 2 a 2 x 4 es de sexto grado con relación a la a y de cuarto grado con relación a la x. Se dice que un polinomio es completo con relación a una letra cuando contiene todos los exponentes sucesivos de dicha letra, desde el más alto al más bajo que tenga dicha letra en el polinomio. Así, el polinomio x 5 + x 4 x 3 + x 2 3x es completo respecto de la x, porque contiene todos los exponentes sucesivos de la x desde el más alto 5, hasta el más bajo 1, o sea 5, 4, 3, 2, 1. Polinomio ordenado con respecto a una letra es un polinomio en el cual los exponentes de una letra escogida, van aumentando o disminuyendo. Así, el polinomio x 4 4x 3 + 2x 2 5x + 8 está ordenado en orden descendente con relación a la letra x ; el polinomio a 4 a 3 b + a 2 b 2 ab 3 + b 4 está ordenado en

12 orden descendente respecto a la letra a y en orden ascendente respecto a la letra b Reducción de Signos de Agrupación Los Signos de Agrupación son de cuatro clases: el paréntesis ( ), el corchete [ ], las llaves { } y el vínculo o barra (el último es muy poco usado). Los signos de agrupación se emplean para indicar que las cantidades encerradas en ellos deben considerarse como un todo, o sea, como una sola cantidad. Así, x + (y z), que equivale a x + (+x z), indica que la diferencia y z debe sumarse con x, y ya sabemos que para efectuar esta suma escribimos a continuación de x las demás cantidades con su propio signo y tendremos : x + (y z) = x + y z La expresión x + ( 2y + z) indica que a x hay que sumarle 2y + z; luego, a continuación de x, escribimos 2y + z con sus propios signos y tendremos: x + ( 2y + z) = x 2y + z Vemos, pues, que hemos suprimido el paréntesis precedido del signo (+), dejando a cada una de las cantidades que estaban dentro de él con sus propios signos. La expresión x (y + z), que equivale a x (+y + z), indica que de x hay que restar la suma y + z y como para restar escribimos el sustraendo con los signos cambiados a continuación del minuendo, tendremos: x (y + z), = x y z La expresión x ( y + z), indica que de x hay que restar y + z; luego cambiando los signos al sustraendo tendremos:

13 x ( y + z) = x + y z Vemos pues, que hemos suprimido el paréntesis precedido del signo, cambiando el signo a cada una de las cantidades que estaban encerradas en el paréntesis. El corchete [ ], las llaves { } y el vínculo o barra, tienen la misma significación que el paréntesis y se suprimen del mismo modo. Se usan estos signos, que tienen distintas formas pero igual significado, para mayor claridad en los casos en que una expresión que ya tiene uno o más signos de agrupación se incluyen en otros signos de agrupación. Regla general para suprimir signos de agrupación 1. Para suprimir signos de agrupación precedidos del signo (+) se deja el mismo signo que tengan a cada una de las cantidades que se hallan dentro de él. 2. Para suprimir signos de agrupación precedidos del signo ( - ) se cambia el signo a cada una de las cantidades que se hallan dentro de él. : Simplificar la expresión: 2a + [a (a + b)] Primero suprimo (elimino) el signo de agrupación que esté incluido dentro de otro (los más interiores), en este caso se puede observar que existe un paréntesis dentro de un corchete. Como el paréntesis está precedido de un signo negativo, se cambian los signos de los términos que estén dentro de él: 2a + [a a b]

14 Posteriormente se procede a suprimir el otro signo de agrupación (corchete): Como el corchete está precedido por un signo positivo, no se alteran los signos de los términos que estén dentro de los referidos corchetes 2a + a a b Una vez que no haya signos de agrupación se reducen los términos semejantes quedando de la siguiente manera: 2a b : Simplificar la expresión [ 3a {b + [ a + (2a b) ( a + b)] + 3b} + 4a] Empezando por los más interiores que son los paréntesis; si el signo anterior al paréntesis es positivo, le dejo los signos iguales a los que estén dentro del paréntesis; si el signo anterior al paréntesis es negativo, le cambio los signos a los que estén dentro del paréntesis: [ 3a {b + [ a + 2a b + a b] + 3b} + 4a] Después el corchete que está entre las llaves (como en este caso el corchete está precedido por un signo positivo se mantienen los signos iguales): [ 3a {b a + 2a b + a b + 3b} + 4a] Después las llaves que están dentro de los corchetes (como en este caso las llaves están precedidas por un signo negativo, se cambian todos los signos que estén dentro de ellas): [ 3a b + a 2a + b a + b 3b + 4a]

15 Por último se suprimen los corchetes exteriores, y como en este caso está precedido por un signo negativo, se le cambiarán todos los signos que están dentro de él: +3a + b a + 2a b + a b + 3b 4a Una vez que no haya signos de agrupación se reducen los términos semejantes: [ 3a {b + [ a + (2a b) ( a + b)] + 3b} + 4a] = a + 2b 2a { 3x + 2[ a + 3x 2( a + b (2 + a))]} 2a { 3x + 2[ a + 3x 2( a + b 2 a)]} 2a { 3x + 2[ a + 3x + 2a 2b a]} 2a { 3x + 2[3a + 3x 2b + 4]} 2a { 3x + 6a + 6x 4b + 8} 2a + 3x 6a 6x + 4b 8 4a 3x + 4b 8 Ordenando los términos: 4a + 4b 3x 8

16 Reducción de términos semejantes Cuando en una misma expresión algebraica se encuentren dos o más términos semejantes se deben convertir en uno solo que sea equivalente a ellos. s: 3x + 7x = Notamos que son dos términos semejantes (ambos tienen parte literal x y exponente 1 ). Cuando una expresión algebraica presenta su primer término sin signo se sobre entiende que tiene signo positivo. Esto nada más se sobre entiende en el primer término, en ninguna otra ubicación más. Cuando dos o más términos semejantes tengan igual signo se conserva el signo y se suman los coeficientes: 3x + 7x = 10x : 3n 5n = Notamos que son dos términos semejantes (ambos tienen parte literal n y exponente 1 ), también podemos observar que ambos tienen signo negativo. Cuando dos o más términos semejantes tengan igual signo se conserva el signo y se suman los coeficientes: 3n 5n = 8n : 9a + 2a =

17 Notamos que son dos términos semejantes (ambos tienen parte literal a y exponente 1 ), también podemos observar que tienen signos distintos. Cuando dos términos semejantes tengan signos distintos, se colocará el signo del coeficiente mayor y se restarán los coeficientes: 9a + 2a = 7a : 7x 2 3x 2 = Notamos que son dos términos semejantes (ambos tienen parte literal x y exponente 2 ), también podemos observar que tienen signos distintos. Aunque el primer término (7x 2 ) no presenta ningún signo, se sobre entiende que tiene signo positivo. Cuando dos términos semejantes tengan signos distintos, se colocará el signo del coeficiente mayor y se restarán los coeficientes: 7x 2 3x 2 = 4x 2 : 3b + 5b 9b + 2b = Notamos que son cuatro términos semejantes (todos tienen parte literal b y exponente 1 ), también podemos observar que tienen signos distintos. Cuando sean más de dos términos semejantes con diferentes signos, se recomienda primero sumar por separado los del mismo signo y después proceder como en los ejemplos anteriores. Sumando los términos con signo positivo: 5b + 2b = 7b Sumando los términos con signo negativo: 3b 9b = 12b La expresión quedará como: 7b 12b =

18 3b + 5b 9b + 2b = 7b 12b : 3a + 5b 9b + 2a = Notamos que son cuatro términos pero no todos son semejantes (dos tienen parte literal a y exponente 1 y dos tienen parte literal b y exponente 1 ) En estos casos se deben reducir por separado los términos semejantes entre sí. Trabajando con a : 3a + 2a = a Trabajando con b : +5b 9b = 4b 3a + 5b 9b + 2a = a 4b Las cuatro operaciones básicas con monomios y polinomios Las cuatro operaciones que se realizan en el álgebra son: Suma o Adición Resta o Sustracción Multiplicación o Producto División o Cociente Suma La suma o adición es una operación que tiene por objeto reunir dos o más expresiones algebraicas (sumandos) en una sola expresión algebraica (suma). Así, la suma de a y b es a + b, porque esta última expresión es la reunión de las dos expresiones algebraicas dadas: a y b. La suma de a y b es a b, porque esta última expresión es la reunión de las dos expresiones dadas: a y b.

19 Regla general para sumar: Para sumar dos o más expresiones algebraicas se escriben unas a continuación de las otras con sus propios signos y reducen los términos semejantes si los hay. I.- Suma de Monomios : Sumar 5a, 6b y 8c Los escribimos unos a continuación de otro con sus propios signos, y como 5a = +5a, 6b = +6b y 8c = +8c la suma será: 5a + 6b + 8c El orden de los sumandos no altera la suma. Así, 5a + 6b + 8c es lo mismo que 5a + 8c + 6b o que 6b + 8c + 5a. Esta es la ley Conmutativa de la suma : Sumar 3a 2 b, 4ab 2, a 2 b, 7ab 2, 6b 3 Se tiene: 3a 2 b + 4ab 2 + a 2 b + 7ab 2 + 6b 3 Reduciendo términos semejantes, queda: 3a 2 b + 4ab 2 + a 2 b + 7ab 2 + 6b 3 = 4a 2 b + 11 a 2 b + 6b 3 II.- Suma de Polinomios:

20 Para sumar dos o más polinomios se escriben uno a continuación de los otros con sus propios signos y se reducen los términos semejantes si los hay. : Sumar 3a +5b y 9b +2a Se escriben los dos polinomios uno a continuación del otro conservando los signos: 3a + 5b 9b + 2a Se reducen por separado los términos semejantes entre si. Trabajando con a : 3a + 2a = a Trabajando con b : +5b 9b = 4b 3a + 5b 9b + 2a = a 4b En la práctica, suelen colocarse los polinomios unos debajo de los otros de modo que los términos semejantes queden en columnas y se hace la reducción de éstos, separándolos unos de otros con sus propios signos. Sumar 3a + 5b +2a 9b a 4b 4x 3y 5z y 7y 9x 3z Se coloca uno debajo del otro de manera que los términos semejantes queden en columnas ( x debajo de x, y debajo de y y z debajo de z ). Todos los términos conservan sus signos.

21 El segundo polinomio se reordena de manera tal que las letras queden en el mismo orden que en el primer polinomio: Posteriormente se reducen los términos semejantes en sentido vertical. Resultado es: 5x + 5y 8z : Sumar 5x 3 + 3x 2 y 2x 2 9x + 4 Se coloca uno debajo del otro de manera que los términos semejantes queden en columnas. Todos los términos conservan sus signos. Los polinomios deben ordenarse en el mismo sentido (ascendente o descendente) y donde falte un término se dejará el espacio vacío. Posteriormente se reducen los términos semejantes en sentido vertical. En la columna donde haya un solo término se coloca tal como esté.

22 Resta La resta o sustracción es una operación que tiene por objeto, dada una suma de dos sumandos (minuendo) y uno de ellos (sustraendo), hallar el otro sumando (resta o diferencia). Es evidente, de esta definición, que la suma del sustraendo y la diferencia tiene que ser le minuendo. Si de x (minuendo) queremos resta y (sustraendo), la diferencia será x y. en efecto: x y será la diferencia si sumada con el sustraendo y reproduce el minuendo x, y en efecto: x y + y = x Regla general para restar Se escribe el minuendo con sus propios signos y a continuación el sustraendo con los signos cambiados y se reducen los términos semejantes, si lo hay. I.- Resta de Monomios : De 7x 3 y 4 restar 8x 3 y 4 Para restar dos monomios se escribe el minuendo con sus propios signos y a continuación el sustraendo con el signo cambiado y se reducen los términos semejantes si los hay, por lo tanto 7x 3 y 4 ( 8x 3 y 4 ) = 7x 3 y 4 + 8x 3 y 4 = 15x 3 y 4 : De 1 2 ab restar 3 4 ab Siguiendo la regla para restar se tiene: 1 2 ab [ 3 4 ab] = 1 2 ab ab = 1 4 ab

23 II.- Resta de Polinomios Para restar dos polinomios se debe escribir el minuendo con sus propios signos y a continuación el sustraendo con los signos cambiados y se reducen los términos semejantes si los hay. : De 3a + 5b restar 9b 2a Se escribe el minuendo (al que se le va a restar) con sus propios signos y a continuación el sustraendo (lo que se va a restar) con los signos cambiados: 3a + 5b (9b 2a) 3a + 5b 9b + 2a Se reducen por separado los términos semejantes entre sí. 3a + 2a + 5b 9b 3a + 5b (9b 2a) = a 4b En la práctica, suele escribirse el sustraendo con sus signos cambiados debajo del minuendo, de modo que los términos semejantes queden en columnas y se hace la reducción de éstos, separándolos unos de otros con sus propios signos. : 5x 3 + 3x 2 menos 2x 2 + 9x 4 Se le cambian los signos al sustraendo (lo que se va a restar)

24 2x 2 9x + 4 Se coloca debajo del minuendo (al que se le va a restar) de manera que los términos semejantes queden en columnas. Los polinomios deben ordenarse en el mismo sentido (ascendente o descendente) y donde falte un término se dejará el espacio vacío. Posteriormente se reducen los términos semejantes en sentido vertical. En la columna donde haya un solo término se coloca tal como esté. Resultado: 5x 3 + 2x 2 6x + 2 Es bueno aclarar que en la resta de polinomios se aplican los mismos criterios que en la suma de polinomios una vez que se le cambien los signos al sustraendo (lo que se va a restar). Lo importante entonces es identificar el sustraendo (lo que se va a restar) y cambiarle todos los signos, no importa la forma como se plantee el ejercicio. Multiplicación o Producto La multiplicación es una operación que tiene por objeto, dadas dos cantidades llamada multiplicando y multiplicador, hallar una tercera cantidad, llamada producto.

25 El multiplicando y el multiplicador son llamados factores del producto. En nuestras clases de aritmética nos enseñaron que esta operación es representada a través del signo x (por). En álgebra para evitar confusiones (por utilizar la x como una variable o incógnita) se ha convenido representarla de otras maneras: Es así como la operación a por b puede ser indicada de alguna de las siguientes maneras: 1) a b 2) ab 3) a b 4) (a) (b) 5) (a)(b) En álgebra para evitar confusiones en la multiplicación de cantidades conocidas (números) se acostumbra a encerrar los mismos entre paréntesis. Así, la multiplicación 12 por 20 suele indicarse como (12)*(20) o como (12) (20) o como (12)(20). El orden de los factores no altera el producto. Así, el producto ab puede escribirse ba; el producto abc puede escribirse también bac o acb (Ley Conmutativa de la multiplicación) Los factores de un producto pueden agruparse de cualquier modo. Así, en el producto abcd, tenemos: abcd = a(bcd) = (ab)(cd) = (abc)d (Ley Asociativa de la multiplicación). Ley de los signos:

26 1. (+ a) (+ b) = + ab 2. ( a) ( b) = + ab 3. (+ a) ( b) = ab 4. ( a) (+ b) = ab Lo anterior podemos resumirlo diciendo que: 1) + por + da + 2) por da + 3) + por da 4) por + da El signo del producto de varios factores es positivo cuando tiene un número par de factores negativos o ninguno: ( a) ( b) ( c) ( d) = abcd (+ a) (+ b) (+ c) (+ d) = abcd El signo del producto de varios factores es negativo cuando tiene un número impar de factores negativos: ( a) ( b) ( c) = abc Ley de los exponentes: Para multiplicar potencias de la misma base se escribe la misma base y se le pone por exponente la suma de los exponentes de los factores. a n a m = a n+m : x 2 x = x 2+1 = x 3 :

27 (x 2 y 2 )(xy 3 ) = x 2+1 y 2+3 = x 3 y 5 Ley de los coeficientes: El coeficiente del producto de dos factores es el producto de los coeficientes de los factores. (3a) (4b) = 12ab Multiplicación de Monomios: Se multiplican los coeficientes y a continuación de este producto se escriben las letras de los factores en orden alfabético, poniéndole a cada letra un exponente igual a la suma de los exponentes que tenga en los factores. El signo del producto vendrá dado por la Ley de los signos. Multiplicar 3a por 4b Primero se multiplican los coeficientes cumpliendo con la Ley de los signos: (3)(- 4) = 12 A continuación se escriben las letras en orden alfabético: 12ab (3a)( 4b) = 12ab : Multiplicar 2b 2 por 3b 3 Primero se multiplican los coeficientes cumpliendo con la Ley de los signos: (2)(3) = 6 A continuación de este producto se escriben las letras de los factores en orden alfabético, poniéndole a cada letra un exponente igual a la suma de los exponentes que tenga en los factores: 6(b 2+3 ) = 6b 5

28 ( 2b 2 ) ( 3b 3 ) = (2)(3)(b 2+3 ) = 6b 5 Multiplicar 2b por 3b ( 2b ) ( 3b ) = (2)( 3)(b 1+1 ) = 6b 2 Multiplicar 2b 2 por 3b 3 ( 2b 2 ) ( 3b 3 ) = ( 2)( 3)(b 2+3 ) = + 6b 5 Multiplicar 4x 2 y 2 por 5xy 3 ( 4x 2 y 2 )( 5xy 3 ) = ( 4)(5)(x 2+1 y 2+3 ) = 20x 3 y 5 Multiplicar 3a por 4b por 2c (3a)( 4b)(2c) = (3)( 4)(2)(abc) = 24abc Multiplicación de polinomios por monomios: Se multiplica el monomio por cada uno de los términos del polinomio, teniendo en cuenta en cada caso la regla de los signos, y se separan los productos parciales con sus propios signos (Ley Distributiva de la multiplicación). Multiplicar 2b por 3x 2 2x + 5 La multiplicación se indica como:

29 (2b) (3x 2 2x + 5) Se multiplica el monomio (2b) por cada uno de los términos del polinomio, teniendo en cuenta en cada caso la regla de los signos: (2b)(3x 2 2x + 5) = 6bx 2 4bx + 10b Multiplicar 3X 2 2X + 5 por 2X 2 La multiplicación se indica como: (3X 2 2X + 5)( 2X 2 ) = Se multiplica el monomio ( 2X 2 ) por cada uno de los términos del polinomio, teniendo en cuenta en cada caso la regla de los signos: (3X 2 2X + 5)( 2X 2 ) = 6X 4 4X X 2

30 La ecuación también puede disponerse en forma similar a lo aprendido en nuestras clases de aritmética: A continuación multiplicamos el monomio (2X 2 ) por cada uno de los términos del polinomio, teniendo en cuenta en cada caso la regla de los signos y colocando el resultado en la parte de abajo. Por cualquiera de los dos métodos el resultado será el mismo. Multiplicación de Polinomios Se multiplican todos los términos del multiplicando por cada uno de los términos del multiplicador, teniendo en cuenta la Ley de los signos, y se reducen los términos semejantes. Multiplicar (X + 3) por (X 2) La multiplicación se indica como: (X + 3)( X 2) = Se multiplican todos los términos del multiplicando por cada uno de los términos del multiplicador, teniendo en cuenta la Ley de los signos

31 Una vez efectuada la operación se reducen los términos semejantes del polinomio resultante (producto): (X + 3)( X 2) = X 2 2X + 3X 6 = X 2 + X 6 La operación también puede disponerse en forma similar a lo aprendido en la multiplicación de un polinomio por un monomio. Primero se multiplica el primer término del multiplicador (X) por los dos términos del multiplicando (X+3): Posteriormente se multiplica el segundo término del multiplicador ( 2) por los dos términos del multiplicando (X+3), escribiendo los productos parciales de modo que los términos semejantes queden en columna:

32 Por último se reducen los términos semejantes: Multiplicar (2X + 3) por (3X 2 2) La multiplicación se indica como: (2X + 3)(3X 2 2) = Se multiplican todos los términos del multiplicando por cada uno de los términos del multiplicador, teniendo en cuenta la Ley de los signos

33 Una vez efectuada la operación se debe ordenar el polinomio resultante (producto): (2X + 3)(3X 2 2) = 6X 3 + 9X 2 4X 6 Multiplicar (x 4 2x 2 + 2) (x 2 2x + 3) =

34 = x 6 2x 5 + 3x 4 2x 4 + 4x 3 6x 2 + 2x 2 4x + 6= = x 6 2x 5 2x 4 + 3x 4 + 4x 3 + 2x 2 6x 2 4x + 6 = = x 6 2x 5 + x 4 + 4x 3 4x 2 4x + 6 Multiplicar (3x 2 5x) (2x 3 + 4x 2 x + 2) = = 6x x 4 3x 3 + 6x 2 10x 4 20x 3 + 5x 2 10x = = 6x x 4 10x 4 3x 3 20x 3 + 6x 2 + 5x 2 10x = = 6x 5 + 2x 4 23x x 2 10x Multiplicar (2x 2 5x + 6) (3x 4 5 x 3 6 x 2 + 4x 3) = = 6x 6 10x 5 12x 4 + 8x 3 6x 2 15x x x 3 20x x + +18x 4 30x 3 36x x 18 = = 6x 6 10x 5 15x 5 12x x x x 3 30x x 3 6x 2 20x 2 36x x + 24x 18 = = 6x 6 25x x 4 + 8x 3 62x x 18 División Es una operación que tiene por objeto, dado el producto de dos factores (dividendo) y uno de los factores (divisor), hallar el otro factor (cociente).

35 De esta definición se deduce que el cociente multiplicado por el divisor reproduce el dividendo. Así, la operación de dividir 6a 2 entre 3a, que se indica 6a 2 3a o 6a 2 /3a o 6a2 consiste en hallar una cantidad que multiplicada por 3a 3a de 6a 2. Esa cantidad (cociente) es 2a. Es evidente que 6a2 = 3a, donde vemos que si el dividendo se 2a divide entre el cociente nos da de cociente lo que antes era divisor. Ley de los signos: La Ley de los signos en la división es la misma que en la multiplicación. Signos iguales dan positivo y signos diferentes dan negativo. +ab +a = +b ab a = +b +ab a = b ab +a = b Lo anterior podemos resumirlo diciendo que : 1) + entre + da + 2) entre da + 3) + entre da 4) entre + da Ley de los exponentes

36 Para dividir potencias de la misma base se escribe la misma base y se le pone de exponente la diferencia entre el exponente del dividendo y el exponente del divisor. a n a m = an m cuando n > m a n a m = 1 cuando m > n am n Ley de los coeficientes x 5 x 2 = x5 x 2 = x5 2 = x 3 x 3 y 6 x 2 y 4 = x3 y 6 x 2 y 4 = x3 2 y 6 4 = xy 2 El coeficiente del cociente es el cociente de dividir el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor. 6a 2 2a = 3a 3a es el cociente porque 3a por 2a = 6a 2. Y vemos que el coeficiente del cociente 3, es el cociente de dividir 6 entre 2. En otras palabras: divido el coeficiente del término del numerador (6) entre el coeficiente del término del denominador (2) 6 / 2 = 3

37 A continuación realizo la división de las partes literales, siguiendo los pasos mostrados en esta misma página en la Ley de los exponentes: a 2 / a = a Y después se multiplican los dos resultados 3a División de dos monomios Se divide el coeficiente del dividendo (numerador) entre el coeficiente del divisor (denominador) y a continuación se escriben en orden alfabético las letras, poniéndole a cada letra un exponente igual a la diferencia entre el exponente que tiene en el dividendo (numerador) y el exponente que tiene en el divisor (denominador). El signo lo da la Ley de los signos. (10X m ) (5X n ) = 2X m n División de un polinomio por un monomio Se divide cada uno de los términos del polinomio por el monomio separando los coeficientes parciales con sus propios signos. Esta es la Ley Distributiva de la división. 6a 8 b 8 3a 6 b 6 a 2 b 3 3a 2 b 3 = = 6a8 b 8 3a 2 b 3 3a6 b 6 3a 2 b 3 a2 b 3 3a 2 b 3 = 2a6 b 5 a 4 b m 3 3m 2 n + 20mn 2 = 2m

38 = 6m3 2m 3m2 n 2m + 20mn2 2m = 3m2 + 4mn 10n 2 División de dos polinomios: Para facilitar la comprensión de los procedimientos recomendados en este trabajo, colocaremos a continuación una división de dos polinomios donde se identificará cada una de las partes que la conforman: En las divisiones exactas: Dividendo Divisor = Cociente En las divisiones donde el residuo es distinto de cero Dividendo Divisor Dividir 11X 2 + X 4 18X 8 entre X + 1 = Cociente + Residuo Divisor Primero se debe ordenar y completar el dividendo ( 11X 2 + X 4 18X 8 ) con relación a una misma letra. En aquellos casos donde falte un término se colocará cero para garantizar que el polinomio esté completo. Dividir X 4 + 0X 3 11X 2 18X 8 entre X + 1

39 Se colocan los dos polinomios de manera similar, a como lo hacemos para realizar la división en aritmética: Se divide el primer término del dividendo ( X 4 ) entre el primer término del divisor (X) y tendremos el primer término del cociente (X 3 ). Este primer término del cociente se multiplica por todo el divisor y al producto se le cambia el signo, escribiendo cada término debajo de su semejante. Ahora efectuamos la operación: Se divide el primer término del resto ( X 3 ) entre el primer término del divisor (X) y tendremos el segundo término del cociente ( X 2 ).

40 Este segundo término del cociente ( X 2 ) se multiplica por todo el divisor y al producto se le cambia el signo. X 2 por X = X 3 y al cambiarle el signo queda X 3 y lo coloco debajo del dividendo X 2 por 1 = X 2 y al cambiarle el signo queda X 2 y lo coloco debajo del dividendo. Al efectuar la operación (restarlo): Se divide el primer término del resto ( 10X 2 ) entre el primer término del divisor (X) y tendremos el tercer término del cociente ( 10X )

41 Este tercer término del cociente ( 10X) se multiplica por todo el divisor y al producto se le cambian los signos. Al efectuar la operación (restarlo): Se divide el primer término del resto ( 8X) entre el primer término del divisor (X) y tendremos el cuarto término del cociente ( 8). Este cuarto término del cociente ( 8) se multiplica por todo el divisor y al producto se le cambian los signos.

42 Al efectuar la operación (restarlo): Como el residuo es igual a cero, la división es exacta y el resultado es: Dividir a 2 2a 3 entre a 3 X 4 + 0X 3 11X 2 18X 8 X + 1 = X 3 X 2 10X 8 Dividir (x 4 2x 3 11x x 20) entre (x 2 + 3x 2)

43 Dividir (x 6 + 5x 4 + 3x 2 2x) entre (x 2 x + 3) Dividir P(x) = x 5 + 2x 3 x 8 entre Q(x) = x 2 2x + 1

44 1.2.- Productos Notables Propósito El estudiante define, analiza los conceptos fundamentales de los productos notables como herramienta fundamental para la solución de problemas logrando en el estudiante un razonamiento matemático. Productos notables Se llama productos notables a ciertos productos que cumplen reglas fijas y cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, es decir, sin realizar la multiplicación. Cuadrado de la suma de dos cantidades El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad más el doble producto de la primera cantidad por la segunda más el cuadrado de la segunda cantidad. (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 Para comprobar el enunciado anterior resolveremos este ejercicio paso a paso : (a + b) 2 = elevar al cuadrado (a + b) equivale a multiplicar este binomio por sí mismo = (a + b)(a + b) Efectuando la multiplicación (recordando lo indicado en Multiplicación de Polinomios) tendremos:

45 Cuadrado de la diferencia de dos cantidades El cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad menos el doble producto de la primera cantidad por la segunda más el cuadrado de la segunda cantidad. (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 Para comprobar el enunciado anterior resolveremos este ejercicio paso a paso : (a b) 2 = elevar al cuadrado (a b) equivale a multiplicar este binomio por sí mismo = (a b) (a b) Efectuando la multiplicación (recordando lo indicado en Multiplicación de Polinomios) tendremos: (a b)(a b) = a 2 ab ab b 2 = a 2 2ab + b 2 s Calcular el Binomio al cuadrado: 1. (2 + x)² = 2² + 2(2)(x) + x² = 4 + 4x + x² 2. (3a 5b)² = (3a)² 2(3a)(5b) + (5b)² = 9a² 30ab + 25b² 3. (x + y)² = x² + 2 (x)(y) + y² = x² + 2xy + y² 4. (p q)² = p² 2pq + q² 5. (2p + q)² = (2p)² + 2(2p)(q) + q² = 4p² + 4pq + q²

46 6. (3a + b)² = (3a)² + 2(3a)(b) + b² = 9a² + 6ab + b² 7. (2a 3b)² = (2a)² 2(2a)(3b) + (3b)² = 4a² 12ab + 9b² 9. (6x 5y)² = (6x)² 2(6x)(5y) + (5y)² = 36x² 60xy + 25y² 10. (9x 2 7y 2 )² = (9x²)² 2(9x²)(7y²) + (7y²)² = 81x x²y² + 49y (2a 3b)² + (3a 5b)² = = (4a² 2(2a)(3b) + (9b²) [(3a)² 2(3a)(5b) + (5b)²] = 16a² 12ab + 6b² + 9a² 30ab + 25b² = 25a² 42ab + 31b² 12. (11x 5y)² (13x + 3y)² + (x 2y)² = = (121x² 2(11x)(5y) + 25y²) (169x² + 2 (13x)(3y) + 9y²) + (x² 2(x)(2y) + 4y²) = 121x² 110xy + 25y² 169x² 78xy 9y² + x² 4xy + 4y² = 47x² 192xy 20y² Cubo de un binomio (cuando el binomio es la suma de dos cantidades)

47 El cubo de la suma de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad más el triple producto del cuadrado de la primera cantidad por la segunda sin exponente, más el triple producto del cuadrado de la segunda cantidad por la primera sin exponente, más el cubo de la segunda cantidad. (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 (a + b)3 = elevar al cubo (a + b) equivale a multiplicar este binomio por sí mismo dos veces = (a + b) (a + b) (a + b) Efectúe la multiplicación recordando lo indicado en Producto Continuado de Polinomios y notará que el resultado será = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 Cubo de un binomio (cuando el binomio es la diferencia de dos cantidades) El cubo de la diferencia de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad menos el triple producto del cuadrado de la primera cantidad por la segunda sin exponente, más el triple producto del cuadrado de la segunda cantidad por la primera sin exponente, menos el cubo de la segunda cantidad. (a b) 3 = a 3 3a 2 b + 3ab 2 b 3 (a b) 3 = elevar al cubo (a b) equivale a multiplicar este binomio por si mismo dos veces = (a b)(a b) (a b) Efectúe la multiplicación recordando lo indicado en Producto Continuado de Polinomios y notará que el resultado será (a b) 3 = a 3 3a 2 b + 3ab 2 b 3 s

48 1. (a + 3)³ = a³ + 3(a)²(3) + 3(a)(3)² + (3)³ = a² + 27a (p q)³ = p³ 3(p)²(q) + 3(p)(q)² q³ = p³ 3p²q + 3pq² q³ 3. (x + 2)³ = x³ + 3(x)²(2) + 3(x)(2)² + 2³ = x³ + 6x² + 12x (a 3)³ = a³ + 3(a)²(3) + 3(a)(3)² + (3)³ = a³ + 9a² + 27a (t + 4)³ = t³ + 3(t)²(4) + 3(t)(4)² + (4)³ = = t³ + 3(t)²(4) + 3(t)(4)² + (4)³ = t³ + 12t² + 48t (2 a)³ = 2³ 3(2)²(a) + 3(2)(a)² a³ = 8 12a + 6a² a³ 7. (2a b)³ = (2a)³ 3(2a)²(b) + 3(2a)(b)² b³ = 8a³ 3(4a²)b + 6ab² b³ = 8a³ 12a²b + 6ab² b³ 8. (3a 5b)³ = (3a)³ 3(3a)²(5b) + 3(3a)(5b)² (5b)³ = 27a³ 135a²b + 225ab² 125b³

49 9. (2x + 3y)³ = (2x)³ + 3(2x)²(3y) + 3(2x)(3y)² + (3y)³ = 8x³ + 36 x²y + 54xy² + 27y³ 10. (1 3y)³ = (1)³ 3(1)²(3y) + 3(1)(3y)² (3y)³ = 1 9y + 27y² 27y³ Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades La suma de dos cantidades multiplicada por su diferencia es igual al cuadrado del minuendo (en la diferencia) menos el cuadrado del sustraendo. Generalmente acostumbramos a definirlo como: El cuadrado del primero menos el cuadrado del segundo. (a + b)(a b) = a 2 b 2 Para comprobar el enunciado anterior efectuaremos la multiplicación (recordando lo indicado en Multiplicación de Polinomios) (a + b)(a b) = a 2 ab + ab b 2 = a 2 b 2 Producto de dos binomios de la forma (x + a)(x + b) Estos productos cumplen las siguientes reglas: 1. El primer término del producto es el producto de los primeros términos de los binomios (primer término elevado al cuadrado). 2. El coeficiente del segundo término del producto es la suma algébrica de los segundos términos de los binomios y se acompañará del primer término de los dos binomios (x). 3. El tercer término del producto es el producto de los segundos términos de los binomios (multiplicar los segundos términos de los dos binomios). El signo lo da la Ley de los signos:

50 : (x + 3)(x + 2) = x 2 + 5x + 6 A continuación realizaremos la multiplicación de estos dos binomios para verificar lo anterior. (x + 3)(x + 2) = x 2 + 3x + 2x + 6 = x 2 + 5x (a + 2)(a + 3) = a² + a (2 + 3) + (2)(3) = a² + 5a (x + 5)(x + 4) = (x)² x (5 + 4) + (5)(4) = x² + 9x (t + 2)(t 3) = t² + t (2 3) + (2)( 3) = t² t 6 4. (a + 5)(a 9) = a² + a (5 9) + (5)( 9) = a² 4a (x 8)(x 1) = (x)² + x( 8 + 1) + ( 8)( 1) = x² 9x (a 7)( a 9) = (a)² + a ( 7 + 9) + ( 7)( 9) = a² 16 a (x + 2)(x 12) = (x)² + x(2 12) + (2)( 12)

51 = x² 10x (x + 3)(x + 8) = x² + x(3 + 8) + (3)(8) = x² + 11x (x 4)(x 6) = (x)² + x( 4 + 6) + ( 4)( 6) = x² 10x (x + 6)(x 2) = (x)² + x(6 2) + (6)( 2) = x² + 4x Factorización Propósito El estudiante define, analiza los conceptos fundamentales de la descomposición factorial como herramienta fundamental para la solución de problemas logrando en el estudiante un razonamiento matemático. Se llama factores o divisores de una expresión algebraica a las expresiones algebraicas que multiplicadas entre sí dan como producto la primera expresión. Así, multiplicando a por a + b tenemos: a(a + b) = a 2 + ab a y a + b, que multiplicadas entre sí dan como producto a 2 + ab, son factores o divisores de a 2 + ab. Del mismo modo. (x + 3)(x + 2) = x 2 + 5x + 6

52 Luego, x + 2 y x + 3 son factores de x 2 + 5x + 6 Descomponer en factores o factorizar una expresión algébrica es convertirla en el producto indicado de sus factores Factorizar un monomio Los factores de un monomio se pueden hallar por simple inspección. Así, los factores de 15ab son 3, 5, a y b. Por tanto: 15ab = (3)(5)(a)(b) Factorizar un polinomio No todo polinomio se puede descomponer en dos o más factores distintos de 1, pues del mismo modo que, en Aritmética, hay números primos que solo son divisibles por ellos mismos y por 1, hay expresiones algebraicas que solo son divisibles por ellos mismos y por 1, y que por tanto, no son el producto de otras expresiones algebraicas. Así a + b no puede descomponerse en dos factores distintos de 1 porque solo es divisible por a + b y por Factor Común es un monomio: Descomponer en factores a 2 + 2a a 2 + 2a contienen el factor común a. Escribimos el factor común a como coeficiente de un paréntesis; dentro del paréntesis escribimos los cocientes de dividir a 2 a = a y 2a a = 2, y tendremos: a 2 + 2a = a(a + 2)

53 Descomponer en factores 10b 30ab 2 Los coeficientes 10 y 30 tienen los factores 2, 5 y 10, Tomamos 10 porque siempre se saca el mayor factor común. De las letras el único factor común es b porque está en los dos términos de la expresión dada y la tomamos con su menor exponente de b. El factor común es 10b. Lo escribimos como coeficiente de un paréntesis y dentro ponemos los cocientes de dividir 10b 10b = 1 y 30ab 2 10b = 3ab por lo tanto se tiene: 2.- Factor común es un polinomio Descomponer x(a + b) + m(a + b) 10b 30ab 2 = 10b(1 3ab) Los dos términos de ésta expresión tienen de factor común el binomio (a + b). Se escribe (a + b) como coeficiente de un paréntesis y dentro del paréntesis se escribe los coeficientes de dividir los dos términos de la expresión dada entre el factor común (a + b), o sea: Por lo tanto se tiene: Descomponer 2x(a 1) y(a 1) x(a + b) (a + b) = x y m(a + b) (a + b) = m x(a + b) + m(a + b) = (a + b)(x + m) Los dos términos de ésta expresión tienen de factor común el binomio (a 1).

54 Se escribe (a 1) como coeficiente de un paréntesis y dentro del paréntesis se escribe los coeficientes de dividir los dos términos de la expresión dada entre el factor común (a 1), o sea: 2x(a 1) (a 1) = 2x ; y(a 1) (a 1) = y Por lo tanto se tiene: 2x(a 1) y(a 1) = (a 1)(2x y) 3.- Trinomio cuadrado perfecto Una cantidad es cuadrado perfecto cuando es el cuadrado de otra cantidad, o sea, cuando es el producto de dos factores iguales Así, 4a 2 es un cuadrado perfecto porque es el cuadrado de 2a, en efecto: (2a) 2 = 2a 2a = 4a 2 Regla para factorizar un trinomio cuadrado perfecto Se extrae la raíz cuadrada al primer y tercer términos del trinomio cuadrado perfecto y se separa estas raíces por el signo del segundo término. El binomio así formado, que es la raíz cuadrada del trinomio, se multiplica por sí mismo o se eleva al cuadrado. : Factorizar m 2 + 2m + 1 Obteniendo la raíz cuadrada de m 2 es m 2 = m y la raíz cuadrada de 1 es 1 = 1, por lo tanto: m 2 + 2m + 1 = (m + 1)(m + 1) = (m + 1) 2 Factorizar 4x y 2 20xy

55 Ordenando los términos se tiene: 4x 2 20xy + 25y 2 Obteniendo la raíz cuadrada de 4x 2 es 4x 2 = 2x y la raíz cuadrada de 25y 2 es 25y 2 = 5y, por lo tanto: 4x 2 20xy + 25y 2 = (2x 5y)(2x 5y) = (2x 5y) Diferencia de cuadrados perfectos En los productos notables se definió que la suma de dos cantidades multiplicadas por su diferencia es igual al cuadrado del minuendo menos el cuadrado del sustraendo, o sea, (a + b)(a b) = a 2 b 2 Regla para factorizar una diferencia de cuadrados Se extrae la raíz cuadrada al minuendo y al sustraendo y se multiplica la suma de estas dos raíces cuadradas por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo. Factorizar 1 a 2 Obteniendo la raíz cuadrada de 1 es 1 = 1 y la raíz cuadrada de b 2 es b 2 = b, por lo tanto: 1 a 2 = (1 + a)(1 a) Factorizar 16x 2 25y 4 Obteniendo la raíz cuadrada de 16x 2 es 16x 2 = 4x y la raíz cuadrada de 25y 4 es 25y 4 = 5y, por lo tanto: 16x 2 25y 4 = (4x + 5y)(4x 5y)

56 Factorizar 49x 2 y 6 z 10 a 12 Obteniendo la raíz cuadrada de 49x 2 y 6 z 10 es 49x 2 y 6 z 10 = 7xy 3 z 5 y la raíz cuadrada de a 12 es a 12 = a 6, por lo tanto: 49x 2 y 6 z 10 a 12 = (7xy 3 z 5 + a 6 )(7xy 3 z 5 a 6 ) 5.- Trinomio de la x 2 + bx + c Estos trinomios deben cumplir las siguientes condiciones 1. El coeficiente del primer término es 1 2. El primer término es una letra cualquiera elevada al cuadrado. 3. El segundo término tiene la misma letra que el primero con exponente 1 y su coeficiente es una cantidad cualquiera, positiva o negativa. 4. El tercer término es independiente de la letra que aparece en 1º y 2º términos y es una cantidad cualquiera, positiva o negativa. Regla práctica Factorizar X 2 + 5X + 6 El trinomio se descompone en dos binomios cuyo primer término es la raíz cuadrada del primer término del trinomio (X 2 ), o sea X: X 2 + 5X + 6 = (X )(X ) En el primer binomio después de X se escribe el signo del segundo término del trinomio (+5X). X 2 + 5X + 6 = (X + )(X + )

57 En el segundo binomio después de X se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo del segundo término del trinomio por el signo del tercer término del trinomio (en este caso multiplicamos los signos de +5X y de +6) X 2 + 5X + 6 = (X + )(X + ) Ahora, buscamos dos números que sumados den +5 y multiplicados den +6. Esos números son 2 y 3, luego: X 2 + 5X + 6 = (X + 2 )(X + 3 ) Factorizar m 2 7m + 12 El trinomio se descompone en dos binomios cuyo primer término es la raíz cuadrada del primer término del trinomio (m 2 ), o sea m: m 2 7m + 12 = (m )(m ) En el primer binomio después de m se escribe el signo del segundo término del trinomio ( 7m). m 2 7m + 12 = (m )(m ) En el segundo binomio después de m se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo del segundo término del trinomio por el signo del tercer término del trinomio (en este caso multiplicamos los signos de 7m y de +12) m 2 7m + 12 = (m )(m ) Ahora, buscamos dos números que sumados den 7 y multiplicados den +12. Esos números son 3 y 4, luego: m 2 7m + 12 = (m 4 )(m 3 ) 6.- Trinomio de la ax 2 + bx + c La Forma Factorizada de un polinomio de segundo grado es:

58 P(x) = a(x x 1 )(x x 2 ) Donde x 1 y "x 2 " son las dos raíces del polinomio y a es el coeficiente principal. ax 2 + bx + c La fórmula para hallar las dos raíces de una ecuación de segundo grado es: x = b ± b2 4ac 2a Regla práctica para factorizar un trinomio de la forma ax 2 + bx + c 1) Se calculan las dos raíces que satisfagan la ecuación ax 2 + bx + c = 0 con la utilización de la fórmula general de 2do. Grado (también conocida como resolvente). 2) Se descompone el trinomio en dos binomios cuyo primer término sea la X. 3) A continuación de cada X se coloca cada una de las raíces pero con signo cambiado. 4) Se indica la multiplicación de los dos binomios anteriores por el valor de a. Factorizar 2x 2 4x 6 Factorizar 6x 2 7x 3 ax 2 + bx + c = a(x x 1 )(x x 2 ) 2x 2 4x 6 = 2(x 2 2x 3) 2x 2 4x 6 = 2(x 3)(x + 1)

59 Multiplicando el trinomio por el coeficiente de x 2 que es el 6 y dejando indicando el producto de 6 por 7x se tiene: Pero 36x 2 = 6x y luego se puede escribir 36x 2 (6)7x 18 36x 2 (6)7x 18 = (6x )(6x ) Se buscan dos número que multiplicados den 18 y sumados algebraicamente den 7x. 18-7x 2 * 9 = = 7 6 * 3 = = - 7 Posteriormente se escoge el que cumpla las condiciones anteriores, por lo tanto: 36x 2 (6)7x 18 = (6x + 2 )(6x 9 ) Como el trinomio fue multiplicado por 6, ahora se divide a los factores por 6 para encontrar la solución 36x 2 (6)7x 18 = (6x + 2 )(6x 9 ) 6 Como los factores del numerador son mitad y tercia dividimos el 6 en 2*3 =6 Quedando la solución: 36x 2 (6)7x 18 = (6x + 2 )(6x 9 ) 2 3 6x 2 7x 3 = (3x + 1)(2x 3) 7.- Suma y diferencia de cubos perfectos Regla para la suma:

60 La suma de dos cubos perfectos se descompone en dos factores: 1º la suma de sus raíces cúbicas. 2º el cuadrado de la primera raíz, menos el producto de las dos raíces, más el cuadrado de la segunda raíz. Regla para la resta La diferencia de dos cubos perfectos se descompone en dos factores: 1º la diferencia de sus raíces cúbicas. 2º el cuadrado de la primera raíz, más el producto de las dos raíces, más el cuadrado de la segunda raíz. Factorizar x 3 + y 3 x 3 + y 3 = (x + y)(x 2 xy + y 2 ) Factorizar 27x 3 + y 6 27x 3 + b 6 = (3x + b 2 )(9x 2 3xb 2 + b 4 ) Factorizar 27x 3 64y 3 27x 3 64y 3 = (3x 4y)(9x xy + 16y 2 ) Factorizar x 3 8y 3 x 3 8y 3 = (x 2y)(x 2 + 2xy + 4y 2 )

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