Capítulo 1 Números Reales


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1 Capítulo 1 Números Reales Noción de conjuntos Se denomina conjunto a un grupo o colección de objetos. A cada conjunto se le designa con una letra mayúscula. A los objetos que integran un conjunto reciben el nombre de elementos del conjunto. La característica principal de un conjunto es que esté bien definido, esto es, dado un objeto particular, debe saberse con claridad si dicho objeto es o no un elemento del conjunto. Clases de conjuntos Un conjunto universal es el que está formado por todos aquellos elementos con los cales será posible formar conjuntos que posean cierta característica en particular. Al conjunto universal se le denota con la letra U. Un conjunto, que forma parte de otro conjunto recibe el nombre de subconjunto. Para indicar que un conjunto está incluido en otro, es decir, que es un subconjunto de él, se utiliza el símbolo. Se define al conjunto vacío como aquel conjunto que carece de elementos y es subconjunto de cualquier otro conjunto. El conjunto vacío se simboliza con. Dos o más conjuntos son iguales cuando están formados por los mismos elementos, aunque no necesariamente en el mismo orden. Se denomina conjunto potencia de un conjunto dado a la agrupación de todos los subconjuntos que se pueden obtener con los elementos del conjunto dado. El número total de subconjuntos del conjunto potencia se determina mediante la expresión 2n, donde n es el número de elementos del conjunto dado. Representación de conjuntos Para representar un conjunto, se utilizan los signos {}. Ejemplo: Existen dos maneras de expresar un conjunto: D = {Joaquín, José} 1. Por extensión, es decir, enumerando todos y cada uno de los elementos que forman parte de él. Ejemplo: G = {José, Enrique, Joaquín} 2. Por comprensión, es decir, enlistando los requisitos, propiedades o características necesarias y suficientes que tendrán los objetos que pertenezcan al conjunto. Ejemplo:

2 G = {alumnos de tu salón que les guste ir al cine} Clasificación de los números reales El primer conjunto de números que utilizamos desde la infancia es el que nos sirve para contar, llamado conjunto de números naturales. Este conjunto se representa con una N y se describe de la siguiente manera: N = {1, 2, 3, } El conjunto de los enteros está formado por los naturales, el cero y los enteros negativos. A los naturales se les conoce también como enteros positivos. Al conjunto de enteros los representamos con Z y se describe como: Z = {, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, } Los números racionales se generan al dividir dos números enteros excepto al dividir entre cero. Así, el conjunto de los enteros es subconjunto de los racionales. Para representar a los racionales usaremos la letra Q y el conjunto se describe: Q = {números que se pueden expresar de la forma a/b, donde a y b son enteros y b es distinto de cero} No todos los números se pueden expresar como división de dos enteros. Números como estos se llaman irracionales, que se identifican con Q. Al añadir a los números racionales el conjunto de los irracionales se obtiene el conjunto de los números reales, que se representan con la letra R. El esquema siguiente resume los diversos sistemas de números que se expusieron:

3 Recta numérica: línea recta en la cual los números negativos están a la izquierda, los positivos a la derecha y el cero entre los dos. Axiomas y propiedades de los números reales El orden de los números reales queda establecido de manera que un número es mayor que otro si se encuentra a su derecha; ejemplo: el número 3 es mayor que 1 pues 3 está a la derecha de 1. De igual manera -2 es mayor que - 7. Esto es debido a la ubicación de los números en una línea recta conocida como recta numérica, donde el cero se ubica a la mitad de dicha recta, los enteros negativos a la izquierda y los enteros positivos a la derecha (véase página 11). Un número es cada vez mayor cuanto más a la derecha se encuentre. Para indicar que un número es mayor que otro se utiliza el símbolo > (se lee mayor que); para indicar que un número es menor que otro se utiliza < (se lee menor que); mientras que para indicar la igualdad se usa el símbolo =. Para dos números reales cualquiera, se cumple una y sólo una de las proposiciones siguientes: a) El primero sea mayor que el segundo. b) El primero es igual que el segundo. c) El primero es menor que el segundo. Las tres proposiciones anteriores forman la propiedad conocida como la ley de tricotomía. A la característica de los números en la que un número es igual a sí mismo se le conoce como propiedad de identidad o reflexiva de la igualdad. Si un número es igual a otro, éste es igual al primero; a esta característica de los números se le llama propiedad recíproca o simétrica de la igualdad. Si un número es igual a otro y éste es igual a un tercero, el primero es igual al tercero. Ésta es la propiedad transitiva de la igualdad. Capítulo 2 Divisibilidad Número primo y número compuesto Se denomina número compuesto a aquel número que puede ser dividido exactamente entre 1, él mismo y otros divisores, es decir, el número que tiene más de dos divisores. Por otro lado, se denomina número primo al entero mayor que 1, que solo tiene dos divisores, la unidad y él mismo. Los primeros números primos menores a 100 son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97

4 Teorema fundamental de la aritmética Teorema fundamental de la aritmética: todo número compuesto puede representarse como el producto de dos números primos; esta expresión es única, independiente del orden de los factores. Ejemplo: si tomamos el número 210, empleando diagramas se obtiene: Generalmente se usan dos métodos para encontrar los factores primos de cualquier número compuesto. El primero consiste en encontrar dos factores fácilmente reconocibles y, luego expresar nuevamente con otros productos aquellos factores que sean números compuestos. El segundo método consiste en dividir el número compuesto dado entre su menor factor o divisor primo posible. Si el cociente obtenido es un número compuesto, se divide éste entre su menor factor primo posible. Se continúa este procedimiento hasta obtener un cociente que sea número primo. Una manera sencilla de encontrar los factores es con los denominados criterios de divisibilidad, ya que éstos nos permiten reconocer cuándo un número es divisible entre otro. Un número es divisible entre 2 cuando termina en cero o cifra par. Ejemplo: 30, 126. Un número es divisible entre 3 si la suma de sus cifras es múltiplo de 3. Ejemplo: 321. Un número es divisible entre 4 cuando el número formado por las dos últimas cifras son ceros o múltiplos de 4. Ejemplos: 600, Un número es divisible entre 5 si la última cifra es cero o 5. Ejemplo: 20, 125. Un número es divisible entre 6 si lo es entre 2 y 3. Ejemplo: 24, 720. Un número es divisible entre 7 si al separar la última cifra, multiplicándola por 2 y restando este producto al número que se formó con las cifras que quedaron, repitiendo este proceso el número de veces necesario, se obtiene como diferencia cero o un múltiplo de 7. Ejemplo: Un número es divisible entre 8 cuando sus tres últimas cifras son ceros o forman un múltiplo de 8. Ejemplo: 5000, 6064.

5 Un número es divisible entre 9 si la suma de sus cifras es múltiplo de 9. Ejemplo: Un número es divisible entre 10 cuando la última cifra es cero. Ejemplo: 210. Máximo común divisor y mínimo común múltiplo El máximo común divisor de dos o más número es el mayor que los divide exactamente a todos. Para calcular el mcd de dos o más cantidades, se descompone cada una de ellas en sus factores primos, y se multiplican los factores primos comunes tomados con el menor número de veces que aparecen. Ejemplo: El mínimo común múltiplo de dos o más números es el menor número que es múltiplo de cada uno de ellos. Para calcular el mcm de dos o más cantidades, se descomponen cada una de ellas en sus factores primos, y se multiplican los factores primos comunes y no comunes, tomados con el mayor número de veces que aparecen. Ejemplo:

6 Capítulo 3 Funciones Concepto de función como relación entre dos o más conjuntos Si a cada elemento de un conjunto se le hace corresponder, de algún modo, un único elemento de otro conjunto, se dice que esta correspondencia es una función. Una función de un conjunto A en un conjunto B se denota f: A B, que se lee f es una función de A en B. Al primer conjunto se le llama el dominio de la función; y al segundo se le llama contradominio. La condición que permite de algún modo la asociación entre dos conjuntos es la regla de correspondencia. Capítulo 4 Operaciones algebraicas Conceptos algebraicos Los números se emplean para representar cantidades conocidas. Las letras se emplean para representar cantidades generalizadas, ya sea determinada (constantes) o no determinadas (variables), de forma común las letras utilizadas son minúsculas, utilizando para las constantes las primeras letras del alfabeto, y para las variables, las últimas. Los signos son de tres clases: De operación: +, -, x, De relación: <, =, > De agrupación: (), [], {} Expresión algebraica: combinación de números, letras y signos de agrupación. Ejemplos:

7 Término algebraico: es una expresión algebraica que puede ser un número específico, una literal, o una combinación de ellos mediante operaciones de multiplicación, división o extracción de raíz. En una expresión algebraica que consta de un solo símbolo o de varios símbolos no separados entre sí por los signos de suma o resta. Ejemplos: Los términos pueden ser enteros y fraccionarios. Un término entero es el que carece de denominador con literales, como los ejemplos arriba. El término fraccionario es el que tiene denominador con literales como 4. Un término consta de factor numérico y parte literal. x Factor numérico: es el número real que multiplica a la parte literal. Parte literal: está formada por las letras o factores literales que hayan en el término, incluyendo sus exponentes, ya que éstos únicamente indican el número de veces que la literal afectada se repite como factor. Ejemplo: en el término -2x 3, el factor numérico es -2 y la parte literal es x 3, donde el exponente 3 indica que la literal x se repite tres veces como factor. Términos semejantes: son los términos algebraicos que tienen la misma parte literal. Cualquier factor de un término algebraico se llama coeficiente de los demás factores. El coeficiente numérico del término es el factor numérico del término, incluyendo su signo. Cuando el coeficiente numérico es 1 o -1 se escribe sólo el signo del mismo precediendo la parte literal. Ejemplo: en el término ax el coeficiente numérico es -1. Una característica importante del término algebraico es su grado. El grado de un término puede ser de dos clases: absoluto y con relación a una letra. El grado absoluto de un término es la suma de los exponentes de sus factores literales, por ejemplo, el grado absoluto del termino -5ab 3 es 4, ya que el exponente de a es 1 y el de b es 3, sumados dan 4. El grado de un término con relación a una letra es el exponente de dicha letra, si tomamos el término del ejemplo anterior, el término seria de grado 1 con respecto a la letra a y de grado 3 con respecto a la letra b.

8 Las expresiones algebraicas se clasifican, de acuerdo con el número de términos que contienes, en monomios y polinomios. Un monomio es la expresión algebraica que consta de un solo termino (3a, -4xy 6 ). Un polinomio es la expresión algebraica que consta de más de un término (5x + 3y, ab -3ab 5 + 4b 7 ). Cuando el polinomio consta de dos términos recibe el nombre de binomio (5x + 3y); si el polinomio tiene tres términos recibe el nombre de trinomio (ab -3ab 5 + 4b 7 ). El grado de un polinomio puede ser de dos clases: absoluto y con relación a una letra. El grado absoluto de un polinomio es el grado de su término de mayor grado, por ejemplo, en el polinomio -5ab 3 + 6a 2 b + 3ab es 4, ya que el grado del primer término es 4, el segundo es 3 y el tercero es 2. El grado de un polinomio con relación a una letra es el mayor exponente de dicha letra en el polinomio, en el ejemplo anterior, el grado con relación a la letra a es 2, y con respecto a la letra b es 3. Un polinomio está ordenado cuando los exponentes respecto a la letra escogida, llamada letra ordenatriz, van aumentando o disminuyendo. Si los exponentes de dicha letra van aumentando, el polinomio está ordenado en forma ascendente. Si los exponentes de la letra ordenatriz van disminuyendo, el polinomio está ordenado en forma descendente. Términos Elementos del término Signo Coeficiente Parte literal Grado absoluto 3x 2 y x 2 y a = 8 a 1 ab 2 x + 1 ab 2 x No tiene 0 a a Operaciones básicas del álgebra Las cuatro operaciones fundamentales en el álgebra son adición, sustracción, multiplicación y división, cuyos resultados obtenidos se denominan suma, resta o diferencia, producto y cociente, respectivamente.

9 Adición La adición es una operación cuya finalidad es unir dos o más expresiones algebraicas, llamadas sumandos, en una sola expresión llamada suma. En el lenguaje común esta operación puede indicarse con diferentes palabras: aumentar, sumar, añadir, incrementar, más, exceder. Al decir Se escribe Un número x aumentado en tres x + 3 A una edad n súmale 4 n + 4 Añade 5 a un número t t + 5 Un número h incrementado en sí mismo h + h m más n m + n Una cantidad c excedida en 8 c + 8 En la aritmética es válida solo en el conjunto de los número reales positivos y el cero; mientras que el álgebra, por tratar a las cantidades de modo más general, permite realizar la operación de la suma en todo el conjunto de los reales. Propiedades de la adición Propiedad Definición Ejemplos Unicidad La suma de dos o más = 7 números es única. Conmutativa El orden de los sumando no altera la suma = = 7 a + b = b + a Asociativa En la suma de tres o más números los sumandos pueden = ( 3 + 4) + 5 = 3 + (4 + 5) = (3 + 5) + 4 = 12 a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c) = (a + b) + c agruparse de cualquier modo, obteniendo el mismo resultado. Aditiva del cero Al sumar cero con cualquier número se obtiene el mismo número = 3 a + 0 = a

10 Para sumar dos números de diferente signo, se obtuvo la diferencia aritmética entre el mayor y el menor de ellos sin tomar en cuenta sus signos, y el resultado tiene el mismo signo del número mayor. Cuando los números con signo diferente son iguales el resultado de la suma de ellos es cero. Ejemplo: (+17) + (-17) = 0. Cuando hay más de dos sumandos de diferente signo, utilizando la propiedad asociativa, podemos sumar todos los de igual signo, y los resultados obtenidos se suman entre sí. En el álgebra al sumar cantidades solo se pueden reducir aquellos términos que sean semejantes. Esta reducción consiste en expresar como un solo término la suma de dos o más términos semejantes. Para hallar la suma de dos o más términos semejantes se suman los coeficientes, manteniendo en el resultado la parte literal. Ejemplos: Cuando hay términos semejantes de diferentes clases, cada una de ellas se reduce por separado, y el resultado se escribe como una sola expresión. Ejemplos:

11 La adición de expresiones algebraicas consiste únicamente en la reducción de términos semejantes, escribiendo la suma como una sola expresión algebraica. Ejemplos: N.B: para indicar una suma de expresiones algebraicas se pueden utilizar signos d agrupación. Así la operación anterior se puede expresar como: N.B: en la práctica, para sumar polinomios suelen colocarse unos debajo de los otros, de modo que los términos semejantes queden en columna y se hace la reducción de éstos. Así, la suma anterior se puede expresar de la manera siguiente: Resta o sustracción La sustracción o resta es la operación que consiste en hallar la diferencia entre dos cantidades. La cantidad que se sustrae se llama sustraendo, la otra cantidad recibe el nombre de minuendo, y al resultado se la sustracción se le denomina diferencia o resto. Para efectuar la resta se sustituye el sustraendo por su opuesto y después se suma con el minuendo. El opuesto o inverso aditivo de un número es el mismo número, tomado con el signo contrario al que originalmente presenta.

12 Restar un número es lo mismo que sumar su opuesto. Sin embargo, en la resta no se cumple la propiedad conmutativa. En el lenguaje común la operación de sustracción puede indicarse con diferentes palabras: diferencia, menos, disminuir, menos que, menor en. Ejemplos: Al decir Se escribe La diferencia cuando a un número x se lee x - 10 resta 10 La diferencia cuando un número x es 10 x restado de 10 De 4 resta un número n n menos el número a 4 n 20 menos que el número a 20 - a Disminuir 67 de 56 a - 20 El número x disminuido en 20 x 20 El número x disminuido de x La sustracción de expresiones algebraicas es básicamente una suma del minuendo con el opuesto del sustraendo, así que únicamente consiste en la reducción de términos semejantes, escribiendo el resultado como una sola expresión algebraica. Ejemplos: Cuando el sustraendo es un polinomio, hay que obtener el opuesto de cada uno de sus términos para sumarlo con el minuendo. Ejemplo: N.B: para sumar polinomios es más práctico si los colocamos uno debajo del otro; de esta manera efectuamos la suma indicada. El sustraendo es siempre la cantidad que se va a restar. La sustracción de expresiones algebraicas se puede indicar también con signos de agrupación.

13 Multiplicación La multiplicación es una operación, donde dadas dos cantidades llamadas factores, se halla una tercera cantidad llamada producto. Los símbolos para indicar la multiplicación son: x, (),.. Cuando los factores son literales se emplean los dos últimos símbolos o bien ninguno. Ejemplos: N.B: al multiplicar una cantidad positiva por una negativa, el producto es negativo. Al multiplicar dos cantidades negativas el producto es positivo. Propiedades de la multiplicación Propiedad Definición Ejemplos Unicidad El producto de dos o más factores es único. 5 x 4 = 20 Conmutativa El orden de los factores no afecta el (a) (b) = (b) (a) producto. Asociativa En la multiplicación de tres o más abc = (ab)(c) = (ac)(b) = (a)(bc) cantidades, los factores pueden agruparse de cualquier modo, obteniéndose el mismo resultado. Distributiva El producto de una cantidad por la suma de (a)(b + c) = (ab) + (ac) otras dos es igual a la suma de los productos de la primera cantidad de la primera cantidad por cada una de las otras dos. Neutro El producto de cualquier cantidad por uno (a)(1) = a multiplicativo es la misma. Multiplicación El producto de cualquier cantidad por cero (f)(0) = 0 por cero es cero. Producto nulo Si el producto de dos o más cantidades es cero, por lo menos una de ellas es cero. Si ab = 0 a = 0 ó b = 0, O bien a = b = 0 Leyes de los signos 1. El producto de dos cantidades del mismo signo es positivo. 2. El producto de dos cantidades de diferente signo es negativo.

14 3. El signo del producto de varios factores es positivo cuando tiene un número par de factores negativos o ninguno. 4. El signo del producto de varios factores es negativo cuando tiene un número impar de factores negativos. N.B: al multiplicar los factores que solo difieren en los exponentes, el exponente del producto es igual a la suma de los exponentes de los factores. Lenguaje de la multiplicación En el lenguaje común de la multiplicación puede indicarse con diferentes palabras: por, multiplicado por, veces, producto de. Ejemplos: Al decir Se escribe Dos veces un número n 2n 3 por un número x 3x El producto de a y b ab El número t multiplicado por el número s ts Cinco veces, un número r aumentado en 4 5(r + 4) Cinco veces un número r, aumentado en 4 5r + 4 Es común indicar productos con vocablos como doble, duplo, triple, triplo, cuádruple, cuádruplo, quíntuplo, etcétera. Ejemplos: Al decir El duplo del número a El triple de la edad de Alberto si tiene x años El quíntuplo de la suma de un número r más 4 El cuádruplo del precio p de un balón Se escribe 2a 3x 5(r + 4) 4p Ejemplos de multiplicaciones algebraicas Para multiplicar monomios se multiplican los coeficientes, utilizando la regla de los signos, y a continuación de este producto se escriben las letras de los factores en orden alfabético, escribiendo a cada letra un exponente igual a la suma de los exponentes que tengan sus factores. Ejemplos:

15 Para multiplicar un monomio por un polinomio, de acuerdo con la propiedad distributiva, se multiplica el monomio por cada uno de los términos del polinomio, teniendo en cuenta el procedimiento para multiplicar monomios y escribiendo el resultado como una sola expresión. Ejemplos: Para multiplicar dos polinomios se multiplica cada término de uno de ellos por todos los términos del otro, teniendo en cuenta los procedimientos anteriores y reduciendo los términos semejantes. Ejemplos: Una forma práctica de efectuar la multiplicación de dos polinomios es escribir uno debajo del otro, en relación con una letra y multiplicando cada uno de los términos del polinomio de abajo por todos los términos del polinomio de arriba, escribiendo los productos parciales de modo que los términos semejantes queden en columna para reducirlos. Ejemplo:

16 Signos de agrupación Los paréntesis se llaman signos de agrupación porque se usan para encerrar o incluir una expresión que representa un número en particular, es decir, para considerar dicha expresión como un todo. También pueden emplearse para remplazar el signo de multiplicación. Ejemplo: 3 x (2 + 4) puede expresarse también como 3(2 + 4). Algunas expresiones algebraicas pueden necesitar dos o más conjuntos de paréntesis para indicar las operaciones necesarias. Sin embargo, dos o más conjuntos de paréntesis pueden ser confusos, así que además de los paréntesis ordinarios (), se utilizan también corchetes [] y llaves {} para una mayor claridad. De forma general, todos los signos de agrupación mencionados tienen el mismo propósito: indicar que las cantidades encerradas en ellos deben considerarse como una sola. Cuando el paréntesis, el corchete o la llave están precedidos por un signo positivo, pueden suprimirse, quedando los términos que encierran con sus correspondientes signos; cuando estén precedidos por un signo negativo, pueden suprimirse cambiando los signos de los términos que encierran. Cuando un término está colocado delante de un signo de agrupación, nos indica que hay que multiplicarlo por cada uno de los términos encerrados dentro de él, de acuerdo con la propiedad distributiva. Al simplificar expresiones que contengan signos de agrupación incluidos dentro de otros, siempre debe iniciarse con los signos de agrupación más interiores. Ejemplos:

17 División La división se define como la operación que consiste en hallar el número de veces que una cantidad contiene a otra cantidad dada. A la primera cantidad se le denomina dividendo; a la segunda, divisor, y el resultado se llama cociente. Los símbolos utilizados para indicar división de dos cantidades a y b son: a b, a/b, a b. La división es la operación inversa de la multiplicación. El producto del cociente por el divisor es el dividendo, si la división es exacta. En caso de que la división no sea exacta, el producto del cociente por el divisor se le añade el resto o residuo de la división para obtener el dividendo. N.B: el cociente de dos cantidades del mismo signo es positivo. El cociente de dos cantidades de diferente signo es negativo. En el lenguaje común, la división puede indicarse con diferentes palabras: entre, dividido por, cociente o razón. Ejemplos: Al decir Se escribe Un número x entre 8 x/8 El cociente de 5 y a 5/a La razón de dos números a y b a/b El doble del número x dividido entre 7 2x/7 Cuando se dividen expresiones algebraicas, puede ocurrir alguno de los siguientes casos: monomio entre monomio, polinomio entre monomio y polinomio entre polinomio. Para dividir dos monomios se dividen sus coeficientes y cada una de sus literales iguales. Ejemplos:

18 N.B: cuando en el dividendo hay una letra que no aparece en el divisor, en este caso c, dicha letra se mantiene igual en el cociente. Para dividir un polinomio entre un monomio se divide cada uno de los términos del polinomio entre el monomio, escribiendo los cocientes como una sola expresión. Ejemplos: Para dividir un polinomio entre otro polinomio se procede de manera semejante que en la aritmética. Ejemplo:

19 De forma general, el algoritmo para dividir polinomios con una sola literal es: a) Se ordenan el dividendo y el divisor en relación con una misma letra en forma descendente. b) Se divide el primer término del dividendo entre el primero del divisor, para obtener el primer término del cociente. c) El primer término del cociente se multiplica por todo el divisor y el producto se resta del dividendo. d) Si en el paso anterior se obtuvo un resto cuya literal, con respecto a la que se ordenó, sea del mismo grado o mayor que el grado de la del divisor, se divide el primer término del resto entre el primer término del divisor, para obtener el segundo término del cociente. e) El segundo término del cociente se multiplica por todo el divisor y el producto se resta del resto obtenido en el inciso c. f) El procedimiento continua hasta obtener en el resto cero o una expresión cuyo grado sea menor que el del divisor. Orden en las operaciones 1. Primero se debe simplificar la expresión dentro de los signos de agrupación, comenzando con los más inferiores. 2. Se realizan las multiplicaciones y divisiones en el orden que aparezcan a partir de la izquierda. 3. Se efectúan las sumas algebraicas.

20 Capítulo 5 Potenciación Potenciación Una potencia es la cantidad que resulta de elevar una expresión, llamada base, a un exponente dado; dicho exponente, cuando es entero positivo, indica el número de veces que la base se toma como factor. Las potencias más utilizadas son la segunda y la tercera; por ejemplo x 2 es la segunda potencia de x, o también se dice x al cuadrado o el cuadrado de x; x 3 es la tercera potencia de x, x al cubo o el cubo de x. En general, x n es la n-ésima potencia de x, la cual también se lee x a la n potencia, donde el exponente n es cualquier número real. Leyes de los exponentes 1. Al multiplicar potencias de la misma base, el producto mantiene la base y su exponente es igual a la suma de los exponentes de los factores. Ejemplos: 2. Al dividir potencias de la misma base, el cociente mantiene la base y su exponente es igual a la diferencia entre el exponente del numerador y el exponente del denominador. Ejemplos: 3. Para obtener la potencia de un producto, se obtiene la potencia de cada uno de los factores, y se multiplican los resultados obtenidos. Ejemplos: 4. Para obtener la potencia de un cociente, se obtienen las potencias del dividendo y del divisor, y se dividen los resultados obtenidos. Ejemplos:

21 5. Para obtener la potencia de una potencia, se mantiene la base y se multiplican los exponentes. Ejemplos: 6. La potencia cero de cualquier cantidad es igual a la unidad. Ejemplos: 7. Toda potencia de exponente negativo equivale a una fracción cuyo numerador es la unidad y su denominador es la misma potencia con exponente positivo. El exponente negativo proviene de dividir dos potencias de la misma base con exponentes positivos, cuando el exponente en el dividendo es menor que el exponente en el divisor. Ejemplos: 8. En general, las potencias con exponente par de una cantidad negativa son positivas y con exponente impar son negativas. Las potencias de cantidades positivas siempre son positivas. Ejemplos:

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23 Capítulo 6 Radicación Radicación La radicación es la operación inversa a la potenciación. Consiste en hallar una cantidad, llamada raíz enésima, cuya potencia enésima es el número dado. El símbolo utilizado en la radicación es. Este signo es una variante de la letra latina r, inicial de la palabra radix, que significa raíz. Una determinada raíz de una cantidad dada n se expresa en la forma a que se llama radical; donde n es el índice de la raíz, que indica qué raíz se va a obtener, y a se llama radicando o cantidad subradical, a la cual se le va extraer la raíz. Signo de las raíces Toda raíz de incide par de una cantidad positiva tiene un valor positivo y otro negativo. Ejemplos: Para expresar una raíz positiva se escribe el signo radical sin signo, por ejemplo, para indicar la raíz positiva de 25 se escribiría 25, para expresar la raíz negativa de un numero se escribe el signo radical precedido del signo de menos, es decir, si queremos expresar la raíz negativa de 25, la escribiríamos de la siguiente manera: Para mencionar ambas raíces ± 25. N.B: los números negativos no tienen raíz de índice par. Las raíces de índice impar de cantidades negativas son negativas, y las de cantidades positivas son positivas, es decir, el signo de las raíces de índice impar tienen el mismo signo del subradical.

24 Obtención de una raíz Para extraer la raíz a una potencia basta dividir el exponente de la potencia entre el índice de la raíz, conservando la base. Ejemplos: Un radical se puede expresar como una potencia con exponente fraccionario, y que las propiedades de los signos de un radical provienen de las propiedades de los signos de las potencias. Las propiedades de los radicales se pueden deducir a partir de las propiedades de los exponentes. 1. La raíz de un producto de varios factores es igual al producto de las raíces de cada factor. Ejemplo: 2. La raíz de un cociente es igual al cociente de la raíz del dividendo entre la raíz del divisor. Ejemplos: 3. La potencia de una raíz es igual a la raíz de la potencia del subradical. Ejemplos:

25 4. Cuando el exponente de la potencia y el índice de la raíz son iguales, se simplifica el radical y el resultado es la cantidad subradical. Operaciones con radicales Simplificación de radicales Para efectuar operaciones con radicales es conveniente que estén simplificados; esto significa que el subradical sea entero, que tenga factores con exponente menor que el del índice y que éste sea el menor posible. Ejemplos:

26 Suma y resta Analógicamente a la suma y resta de expresiones algebraicas racionales, al sumar cantidades con radicales solo se pueden reducir aquellos términos que sean radicales semejantes, los cuales son aquellos que tienen radicales con el mismo índice y la misma cantidad subradical, y que pueden variar únicamente en el coeficiente. Para hallar la suma o resta de dos o más radicales semejantes, se suman algebraicamente los coeficientes y se multiplica dicha suma por el radical semejante. Ejemplos:

27 Multiplicación con el mismo índice

28 División con el mismo índice Al dividir radicales con el mismo índice se obtiene otro radical del mismo índice cuyo subradical es el cociente de los subradicales. Ejemplos: Otra forma de efectuar la división anterior, es simplificar los radicales entes de dividirlos siempre que sea posible: Racionalización Se conoce como racionalización al proceso que consiste en transformar la fracción original en otra equivalente cuyo denominador sea racional, esto es, que no contenga radicales. La racionalización es conveniente para facilitar operaciones con expresiones que contengan denominador con radicales. Ejemplos:

29 Capítulo 7 Productos notables y Factorización Productos notables Se llaman productos notables o especiales a algunos productos utilizados con frecuencia que tienen ciertas características observables que los identifican, y cuyos resultados pueden ser escritos sin realizar completamente la multiplicación. Binomio al cuadrado Para elevar al cuadrado un binomio, no es necesario efectuar la multiplicación, basta sumar el cuadrado del primer término, del binomio más dos veces el producto de ambos términos más el cuadrado del segundo término. Al trinomio que se obtiene de esta operación se le llama trinomio cuadrado perfecto. Es decir: Ejemplos:

30 Binomios conjugados Se llaman binomios conjugados a los que solo difieren en el signo de uno de sus términos. A estos términos con diferente signo en cada binomio se le llaman simétricos. Ejemplos: En (a - b) (a + b), a es el término común, -b y b son simétricos. En (x + y) (-x + y), y es el término común, -x y x son simétricos. En (-c + d) (-c d), -c es el término común, -d y d son simétricos. Binomios con un término en común Los binomios con un término en común son aquellos que tienen la forma (x + a) (x + b), donde x representa el término común, a y b no son comunes. El producto de dos binomios que tienen un término en común es igual a la suma del cuadrado del termino común, más el producto del termino común por la suma algebraica de los no comunes, más el producto de los no comunes. Ejemplos: Binomios de la forma (ax + b) (cx + d) La característica de los binomios de la forma (ax + b) (cx + d) es que los términos de un binomio son semejantes a los términos del otro binomio. Como ejemplo de binomios de esta forma esta por ejemplo (3x 5a) (4x + 9a), donde los términos semejantes son 3x con 4x y -5a con 9a.

31 El producto de los binomios de la forma (ax + b) (cx + d), sin realizar la multiplicación se obtienen de la siguiente manera: 1. Se multiplican los primeros términos de ambos binomios. 2. Se multiplica el primer término de cada binomio por el segundo término del otro binomio y se suman los productos obtenidos. 3. Se multiplican los segundos términos de ambos binomios. Ejemplos: Binomio al cubo El cubo de un binomio es igual al cubo del primer término, más el triple producto del cuadrado del primer término por el segundo, más el triple producto del primer término por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo término. Factorización Factorizar una expresión algebraica es hallar dos o más factores, cuyo producto sea igual a la expresión propuesta, ejemplo:

32 Una expresión algebraica con coeficientes enteros está completamente factorizada cuando todos sus factores son primos. Un factor es primo cuando solo es divisible entre él mismo y la unidad, es decir, no se puede expresar como el producto de dos o más factores distintos a él. Ejemplo: Factor común Factor común: es el factor que aparece en todos los términos de una expresión. Si en una expresión todos sus términos tienen factor común, éste será uno de los factores de la factorización. Para factorizar un polinomio que tenga factor común en todos sus términos, basta determinar el factor común y luego dividir todo el polinomio dado entre dicho factor, indicando la factorización como el producto del factor común por el cociente obtenido. Para obtener el máximo común divisor de los términos de un polinomio, se calcula el mcd de los coeficientes numéricos de sus términos y el mcd de la parte literal de cada uno, que consiste en el producto de las literales comunes a todos los términos con su menor exponente. Ejemplos:

33 Agrupación de términos Algunos polinomios no tienen un factor común a todos los términos; pero pueden ocurrir que grupos de términos tengan cierto factor común. Agrupándolos y factorizando cada grupo puede resultar un factor común a todos los grupos del polinomio y éste se podrá factorizar aplicando el caso anterior. Estas factorizaciones se llaman por agrupación de términos. Para lograr esta factorización se utilizan las propiedades asociativa y conmutativa de la adición. Ejemplos:

34 Diferencia de cuadrados La diferencia de cuadrados es igual al producto de dos binomios conjugados formados por las raíces cuadradas de los términos de esta diferencia, teniendo en cuenta que los términos simétricos de los binomios conjugados deben corresponder a la raíz cuadrada del sustraendo en la diferencia de cuadrados. Trinomio cuadrado perfecto Una cantidad es cuadrado perfecto cuando su raíz cuadrada es racional. Al elevar un binomio al cuadrado se obtiene un trinomio. Este trinomio se denomina trinomio cuadrado perfecto, ya que se obtiene al elevar al cuadrado el binomio a + b, es decir: Un trinomio ordenado con relación a una letra es cuadrado perfecto cuando el primer y tercer términos son positivos y cuadrados perfectos, y el segundo término es el doble producto de las raíces cuadradas de dichos términos, el cual puede ser positivo o negativo. Factorizar un trinomio cuadrado perfecto es expresarlo como el cuadrado de un binomio. Al factorizar un trinomio cuadrado perfecto ordenado, se obtiene un binomio al cuadrado, donde los términos del binomio son las raíces cuadradas positivas del primer y tercer términos del trinomio, unidas por el signo del segundo término del binomio. Ejemplos:

35 Trinomio de la forma x 2 + bx + c Un trinomio cuadrático cuyo primer término es cuadrado perfecto, el segundo término tiene un factor igual a la raíz cuadrada positiva del primero y el tercer término es independiente de la letra del primer término. Estas son las características de un trinomio de la forma x 2 + bx + c. Un trinomio de la forma x 2 + bx + c proviene del producto de dos binomios de la forma (x + m) (x + n) que tienen por primer término x, es decir, la raíz cuadrada del primer término del trinomio, y cuyos segundos términos (m y n) son tales que sus suma es el coeficiente de x, y su producto el término independiente de x. Ejemplos:

36 Trinomio de la forma ax 2 + bx + c Trinomios de este tipo provienen de multiplicar dos binomios, donde los términos de un binomio son semejantes a los términos del otro binomio. Una forma de factorizar estos trinomios es buscar dos cantidades semejantes cuyo producto sea igual al termino del trinomio y otras dos cuyo producto sea igual al tercer término, escribiéndolas debajo de dichos términos, se efectúa el producto de esas cantidades, se suman los productos y esa misma suma se compara con el segundo término del trinomio, si son iguales entonces tenemos los factores buscados. Ejemplos:

37 Suma y diferencia de cubos Se tiene suma o diferencia de cubos cuando en un binomio ambos términos tienen raíz cubica racional. La suma de los cubos de dos términos se factoriza como el producto de dos factores, uno de los cuales es la suma de las raíces cubicas de esos términos, y el otro es la suma de los cuadrados de las mismas raíces, disminuida en su producto. La diferencia de los cubos de dos términos se factoriza como el producto de dos factores, uno de los cuales es la diferencia de las raíces cubicas de esos términos, y el otro es la suma de los cuadrados de las mismas raíces, incrementada en su producto. Ejemplos: Máximo común divisor y mínimo común múltiplo de expresiones algebraicas El mcd de dos o más monomios, obteniendo el mcd de los coeficientes y multiplicándolo por las literales comunes a todos los términos con su menor exponente. De forma general, el mcd de dos o más expresiones algebraicas se obtiene con el producto de todos los factores comunes a ellas, con el menor exponente; que resulta ser la mayor expresión que divide exactamente a todas las expresiones dadas. Ejemplos: hallar el mcd de los siguientes polinomios

38 El mcm de dos o más expresiones algebraicas es la menor expresión algebraica que es divisible exactamente entre las expresiones dadas. El mcm de dos o más expresiones algebraicas es el producto de las expresiones algebraicas comunes a todas ellas con el mayor exponente y las expresiones no comunes también con sus mayores exponentes. Ejemplo: calcular el mcm de las siguientes expresiones

39 Propiedades de las fracciones Capítulo 8 Fracciones Algebraicas Concepto de fracción La fracción es un cociente indicado que nos expresa la parte de un todo. La fracción contiene dos elementos: el numerador (a) y el denominador (b). Ambos elementos se llaman términos de la fracción. El denominador tiene que ser diferente de cero, ya que la división entre cero no es posible. Se denominan fracciones numéricas a las fracciones cuyos términos son número enteros, excepto cero en el denominador, por el contrario se denominan fracciones algebraicas a aquellas en donde al menos uno de sus términos contiene literales: Si ambos términos de la fracciona son expresiones enteras, se llamaran entonces fracciones simples, como los ejemplos anteriores. La fracción simple cuyo numerador es menor o de menor grado que el denominador recibe el nombre de fracción simple propia, en caso contrario es fracción simple impropia. En las fracciones impropias podemos dividir el numerador entre el denominador, lo que nos permite expresar la fracción como la suma de una expresión entera más una fracción propia. Ejemplo:

40 Si el numerador o denominador o ambos son fracciones, la fracción recibe el nombre de fracción compleja. Ejemplo: Propiedades El signo de la fracción está dado por los signos de sus términos y la ley de los signos de la división. Si cambiamos el signo de los términos de una fracción, el signo de ésta no cambia, ya que hacer esto es equivalente a multiplicar la fracción por 1. Si se le cambia el signo solo a uno de los términos, el signo de la fracción también cambia. Si alguno de los polinomios está factorizado, su opuesto se obtiene cambiando el signo solo a uno de sus factores. Ejemplos: Al efectuar operaciones con fracciones es conveniente que estén expresadas de la manera más simple posible. Se denomina fracciones equivalentes a aquellas que representan la misma cantidad. Ejemplos: La propiedad fundamental de las fracciones la podemos encontrar cuando obtenemos una fracción equivalente al multiplicar y dividir ambos términos de una fracción por la misma cantidad distinta de cero, y que la fracción no cambia en su valor.

41 Simplificación Simplificar una fracción algebraica es transformarla en otra equivalente, cuyos términos sean más sencillos. Para simplificar una fracción se utiliza la propiedad fundamental de las fracciones. Ejemplos: Una fracción que no se puede simplificarse se llama fracción irreducible y sus términos son primos entre sí. Al simplificar una fracción debemos llegar a su misma expresión, es decir, a una fracción equivalente que sea irreducible. Para transformar una fracción en otra equivalente que sea irreducible, basta dividir ambos términos de la fracción dada entre su máximo común divisor. Ejemplos. N.B: en la práctica es más simple factorizar los coeficientes y simplificar uno a uno los factores comunes, restando sus exponentes.

42 N.B: para reducir una fracción a su mínima expresión, basta dividir o simplificar los factores comunes. N.B: otra manera de interpretar una fracción es considerarla como la relación entre dos cantidades. A esta relación se le llama razón. Al reducir una fracción a su mínima expresión se debe tener cuidado al factorizar, y únicamente se debe simplificar o dividir factores, de lo contrario se estaría cometiendo un error. Operaciones con fracciones Suma y resta Para sumar o restar fracciones es importante considerar al denominador común, que se presenta cuando dos o más fracciones tienen como denominador la misma cantidad, ya que esto nos permite sumar o restar fracciones fácilmente. Ejemplos:

43 Para sumar o restar fracciones es conveniente hacerlo cuando el común denominador es el menor posible. Este menor denominador común es el mínimo común múltiplo de los denominadores. Entonces, para obtener fracciones equivalentes, multiplicamos los términos de cada fracción por el cociente de dividir el mínimo común múltiplo de los denominadores entre el denominador de cada fracción. Ejemplos: expresar las fracciones dadas como fracciones equivalentes con el menor denominador común El mcm obtenido se dividido por los denominadores, luego se multiplico por cada elemento de la fracción.

44 Ejemplo 2: realiza las siguientes sumas y restas con fracciones

45

46 Multiplicación Para hallar el producto de dos o más fracciones, se forma una fracción que tenga como numerador el producto de los numeradores; y por denominador, el producto de los denominadores. Ejemplos: Para toda cantidad distinta de cero, existe otra cantidad llamada recíproco o inverso multiplicativo tal que el producto de ambas es 1.

47 División La división de una fracción entre una cantidad equivale al producto de la fracción por el reciproco de la cantidad. Ejemplos:

48

49 Fracciones complejas Las fracciones complejas son expresiones con fracciones en el numerador o en el denominador o en ambos. Una fracción compleja es una división indicada entre fracciones. Las fracciones complejas pueden simplificarse de varias maneras. Ejemplos: En resumen, el numerador de la expresión anterior es el producto de los extremos de la fracción de la izquierda; mientras que el denominador es el producto de los medios de dicha fracción. Es decir: a y d son extremos, b y c son medios; ad es el producto de extremos y bc es el producto de medios.

50 Capítulo 9 Ecuaciones Numéricas Ecuaciones de primer grado con una incógnita Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas; cada una de estas expresiones recibe el nombre de miembro. Es común llamarle primer miembro a la expresión que está a la izquierda del signo de igual, y segundo miembro a la que está a la derecha de dicho signo: En las ecuaciones intervienen símbolos cuyos valores son conocidos o se suponen conocidos, y valores desconocidos llamados incógnitas o variables. Cuando hallamos el valor o valores de una variable que hacen verdadera la igualdad, se dice que hemos resuelto la ecuación; ese valor de la variable es la solución o raíz de la ecuación. Las ecuaciones pueden ser de tres tipos: idénticas, condicionales y contradictorias. Una ecuación idéntica es una igualdad, en la cual ambos miembros son iguales para todos los valores de las variables en el dominio de cada uno de los miembros. Se le conoce también con el nombre de identidad. Ejemplo: Una ecuación recibe el nombre de contradicción si no tiene solución y en realidad no es una igualdad. Ejemplo: x + 2 = x + 8. Una ecuación es condicional cuando ambos miembros son iguales solamente para ciertos valores particulares de las variables. Ejemplo: x + 3 = 8. Se puede clasificar a las ecuaciones en diversas clases: por las cantidades que intervienen o por la forma en la que se presentan las cantidades. Cuando se consideran las cantidades que intervienen, las ecuaciones pueden ser de dos tipos: 1. Literal, si además de las incógnitas la ecuación tiene otras letras que representan cantidades conocidas. Ejemplo: 3x + 4b = 2x + 3b. 2. Numérica, si no tiene más letras que la incógnita. Ejemplo: 5y 4 = 11. Cuando se considera la forma en la que se presentan las cantidades, las ecuaciones pueden ser de dos tipos: 1. Entera, cuando los miembros de la ecuación carecen de términos con denominador. Ejemplo: 6x + 3 = Fraccionaria, cuando en alguno o en ambos miembros hay, al menos, un término con denominador. Ejemplos:

51 El grado de una ecuación numérica es igual al del término de mayor grado, para obtenerlo es necesario que la ecuación sea entera. Ejemplos: Una ecuación es de primer grado con una incógnita cuando solo tiene una variable y ésta tiene por exponente a la unidad cuando la ecuación es entera y esta simplificada. Ecuaciones enteras de primer grado con una incógnita

52

53 Ecuaciones fraccionarias Al resolver una ecuación con fracciones conviene transformarla en otra ecuación equivalente que no contenga denominadores, para ello podemos utilizar la propiedad que permite multiplicar ambos miembros de una igualdad por una misma cantidad.

54 Solución de problemas

55 Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas Ecuaciones enteras de primer grado con dos incógnitas Al establecer un conjunto de dos o más ecuaciones con dos o más variables se dice que tenemos un sistema de ecuaciones. Ejemplo:

56 Cuando la solución es común a todas las ecuaciones que integran el conjunto se dice que estas ecuaciones son simultáneas. Para resolver un sistema de ecuaciones es necesario tener tantas ecuaciones como variables, donde estas ecuaciones no deben ser equivalentes. Existen diversos métodos para resolver ecuaciones de este tipo, uno de ellos es el de igualación, con el sistema de ecuaciones arribe, resolviéndola por este método seria: Otro método para resolver sistemas de ecuaciones simultáneas es el de sustitución, sea el sistema de ecuaciones:

57 Otro método para resolver sistemas de ecuaciones simultáneas es el método de reducción, también conocido como método de suma y resta. Este método tiene como propósito reducir las dos ecuaciones a una sola que contenga solo una de las variables, lo cual se consigue sumando las ecuaciones u otras equivalentes a ellas, de modo que se anule una de las variables. En el sistema:

58 Ecuaciones fraccionarias de primer grado con dos incógnitas Para resolver sistemas de ecuaciones fraccionarias de primer grado con dos incógnitas, tenemos los siguientes ejemplos:

59 Solución de problemas

60

61 Ecuaciones de segundo grado Una ecuación de segundo grado es aquella ecuación en la cual el mayor exponente de la variable es 2. Este tipo de ecuación también recibe el nombre de ecuación cuadrática. Ejemplos de ecuaciones de este tipo son: Una ecuación es cuadrática completa cuando en ella aparecen el término de segundo grado, el de primer grado y el término independiente, siendo éste último el que carece de la variable. Una ecuación es cuadrática incompleta si carece del término de primer grado o del término independiente. Ecuaciones enteras de segundo grado con una variable

62

63 El método mostrado anteriormente para resolver ecuaciones de segundo grado, es el método de factorización, sin embargo, no todas la ecuaciones de segundo grado pueden factorizar. Para resolver aquellas ecuaciones cuadráticas que no sean factorizables, utilizaremos la fórmula general, es decir: Donde: a = es el coeficiente del término de segundo grado. b = es el coeficiente del término de primer grado. c = es el término independiente. Este método sirve para hallar las soluciones de cualquier ecuación de segundo grado, completa e incompleta. En el caso de que las ecuaciones sean incompletas, los valores de b o c serian iguales a cero.

64 Ecuaciones fraccionarias de segundo grado con una variable

65 Solución de problemas

66

67 N.B: como no se puede tener un valor negativo de personas, la respuesta en este caso sería n = 10.

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