EXPRESIONES ALGEBRAICAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y POLINOMIOS

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1 EXPRESIONES ALGEBRAICAS Trabajar en álgebra consiste en manejar relaciones numéricas en las que una o más cantidades son desconocidas. Estas cantidades se llaman VARIABLES, INCÓGNITAS o INDETERMINADAS y se representan por letras. Una expresión algebraica es una combinación de letras y números ligada por los signos de las operaciones: adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación. Las expresiones algebraicas nos permiten, por ejemplo, hallar áreas y volúmenes. VALOR NUMÉRICO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA El valor numérico de una expresión algebraica, para un determinado valor, es el número que se obtiene al sustituir en ésta el valor numérico dado y realizar las operaciones indicadas. Área del cuadrado: A = l, donde l es el lado del cuadrado. Ejemplo: l = 5cm A = 5 A = 25cm EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y POLINOMIOS Objetivos Al final de esta lección, debes ser capaz de: Reconocer expresiones algebraicas. Reconocer si una expresión algebraica es un polinomio. Conseguir el grado y la coeficiente principal de un polinomio. Sumar dos polinomios. Restar dos polinomios. Definición: Una expresión algebraica es un conjunto de cantidades numéricas y literales relacionadas entre sí por los signos de las operaciones aritméticas como sumas, diferencias, multiplicaciones, divisiones, potencias y extracción de raíces. Algunos ejemplos de expresiones algebraicas son: 2xy 3 x y 1 o x 5x + 28

2 Si x es una variable, entonces un monomio en x es una expresión de la forma ax n, en donde a es un numero real y n es un entero no negativo. Un binomio es la suma de dos monomios que no se pueden simplificar y un trinomio es la suma de tres monomios que no se pueden simplificar. Monomio: 5x Binomio: 5x + 2 Trinomio: x + x + 1 Recuerda siempre que un monomio tiene solo un término, un binomio dos términos y un trinomio tres términos. Polinomios Definición: Un polinomio en x es una suma de la forma: a x + a x + + a x + a x + a Donde n es un entero no negativo y cada coeficiente de x es un número real. Si a n es un número diferente de cero, se dice que el polinomio es de grado n. El coeficiente a de la mayor potencia de x es el coeficiente principal del polinomio. Ejemplos de polinomios: Ejemplo Coeficiente principal Grado 3x + 5x + ( 7)x x + 9x + ( 2)x 1 8 5x x Gráficas Una fórmula polinómica tiene la forma y = a x + a x + + a x + a x + a 29

3 SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS Suma: Sumamos términos semejantes es decir sumamos aquellos términos cuyas variables y exponentes sean iguales. Los pasos para hacer la suma son: Paso 1: Elimine los paréntesis Paso 2. Agrupe términos semejantes Paso 3. Sume y reste los términos semejantes. Ejemplo: Halla la suma de: (x + 2x 5x + 7) + (4x 5x + 3) x + 2x 5x x 5x + 3 5x 3x 5x + 10 Resta: Funciona igual que la suma solo hay que tener en cuenta que el signo negativo antes de los paréntesis cambia el signo de los términos dentro del paréntesis. Paso 1: Si un paréntesis tiene antepuesto un signo negativo, los signos dentro del paréntesis se afectan. Los signos se cambian a su opuesto y el signo negativo antepuesto al paréntesis pasa a ser positivo. Paso 2: Elimine los paréntesis. Para hacerlo sólo escriba los términos que están dentro del paréntesis con sus signos correspondientes e ignore el signo + entre los dos paréntesis. Paso 3: Agrupe los términos semejantes; es decir los términos con iguales variables e iguales exponentes. Paso 4: Sume y reste los términos semejantes. (x + 2x 5x + 7) (4x 5x + 3) (x + 2x 5x + 7) + ( 4x + 5x 3) x + 2x 5x + 7 4x + 5x 3 3x + 7x 5x + 4 FACTORIZACIÓN Y PRODUCTOS NOTABLES Así como los números naturales pueden ser expresados como producto de dos o más números, los polinomios pueden ser expresados como el producto de dos o más factores algebraicos. Cuando un polinomio no se puede factorizar se denomina irreducible. En los casos en que la expresión es irreducible, solo puede expresarse como el producto del número 1 por la expresión original. 30

4 Al proceso de expresar un polinomio como un producto de factores se le denomina factorización. El proceso de factorización puede considerarse como inverso al proceso de multiplicar. Factorizar, entonces, quiere decir identificar los factores comunes a todos los términos y agruparlos. Los factores comunes son aquellos números que aparecen multiplicando a todos los términos de una expresión algebraica. Estos números pueden estar dados explícitamente o representados por letras. Así, factorizar un polinomio es descomponerlo en dos o más polinomios llamados factores, de tal modo que al multiplicarlos entre sí se obtenga el polinomio original. En otras palabras, dada una expresión algebraica complicada, resulta útil, por lo general, el descomponerla en un producto de varios términos más sencillos. Por otro lado, algunos productos sencillos que tienen una estructura determinada y que pueden ser evaluados de forma directa se denominan Productos notables. Ejemplo 1: Como ya conoces aplicando la propiedad distributiva realizas sin 3(a + b) = 3a + 3b a(2a + 5) = 2a + 5a dificultades este ejercicio: Observar que en todos los casos multiplicamos un monomio por un polinomio. Pero cómo realizar el procedimiento inverso, o sea, cómo expresar los resultados obtenidos en sumas. Precisamente a este procedimiento se le denomina extracción del factor común. Ejemplo 2: Observar en el siguiente recuadro que el factor común numérico es el mayor divisor de los divisores comunes de los coeficientes, siempre que sea diferente de 1, y en el caso de las variables, se extrae la de menor exponente. 31 3y (2y + 4y + 3) = 6y + 12y + 9y 3a + 3b = 3(a + b) Factorcomún numérico 3a 3 = a 3b 3 = b 2a + 5a = a(2a + 5) Factorcomún variable 2a a 5a = 2a a = 5 6y + 12y + 9y = 3y (2y + 4y + 3) Factorcomún número variable 6y 3y

5 El factor que queda después de la extracción del factor común se obtiene dividiendo cada término del polinomio por dicho factor común. Ejemplo 3: Diferencia de dos cuadrados Para comprenderlo mejor este caso debes (x + 3)(x 3) = x 9 remitirte al producto notable (a + b)(a b) = (2m + 1)(2m 1) = 4m 1 a b, el cual aplicamos en la resolución de (y + 0.1)(y 0.1) = y 0.01 ejercicios. Observar que en cada caso obtenemos el cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo término. Luego, para aplicar el procedimiento inverso, se procede como se muestra a continuación: (x + 3)(x 3) = x Hallamos las raíces cuadradas de cada término del 9 x Binomio y planteamos el producto de su suma por = 2 9 = 3 (2m + 1)(2m 1) = 4m su diferencia. 1 Es necesario que sepas que la suma de dos 4m = 2m 1 = 1 cuadrados, por ejemplo x (y + 0.1)(y 0.1) = y + 16, nunca tiene 0.01 factorización. Sin embargo, x 7 se puede factorizar aunque 7 no tenga raíz cuadrada exacta, ya que se puede expresar como el producto de (x + )(x ). Ejemplo 4: Trinomio cuadrado perfecto Al resolver ejercicios se debe desarrollar los (x + 3) = x + 6x + 9 binomios al cuadrado, para ello aplicamos los (y 4) = y 8y + 16 productos notables cuadrado de una suma y de una (2z + 3) = 2z + 12z + 9 diferencia y obtenemos la respuesta correcta. Observar que siempre el resultado es un x trinomio, al cual se le denomina trinomio + 6x + 9 = (x + 3) x cuadrado perfecto. = x; 9 = 3; 2 3 x = 6x y Para factorizar los trinomios obtenidos se 8y + 16 = (y 4) y proceden a la inversa. = y; 16 = 4; 2 4 y = 8y 2z Determinamos la raíz cuadrada de cada término + 12z + 9 = (2z + 3) elevado al cuadrado y comprobamos que el término central es el doble producto 32

6 de los mismos, en este caso el resultado sería la suma o la diferencia de dichos términos. El resultado de la factorización: Observar que la respuesta es el cuadrado de un binomio, ya sea una suma o una diferencia. El procedimiento de hallar las raíces cuadradas de los dos términos cuadrados perfectos y la comprobación de que su doble producto es igual al término central del trinomio, no es necesario que se haga de forma escrita. El signo del binomio resultante coincide con el del término central del trinomio. Ejemplo 5: Trinomio de la forma x + px + q Al resolver ejercicios debes efectuar los productos indicados, para ello aplicamos el producto notable (x + a)(x + b) = x + (a + b)x + ab Observar que siempre el resultado es un trinomio, el cual está formado por el cuadrado del término común, la suma algebraica de los términos no comunes multiplicada por el término común y el producto de los términos no comunes. Para factorizar los trinomios obtenidos se procede a la inversa: determinamos la raíz cuadrada del término elevado al cuadrado y buscamos dos números cuyo producto sea igual al término independiente (q) y la suma algebraica de los mismos sea igual al coeficiente del término central (p). Observar que la respuesta es el producto de dos binomios, precisamente los que multiplicaste al expresar los productos anteriores en sumas. Además, presta atención que si el término independiente del trinomio es positivo, los signos de los dos binomios son iguales y dependen del signo del término central del trinomio. 33

7 Por otra parte, si el término independiente del trinomio es negativo, los signos de los dos binomios son diferentes y debes tener cuidado cuál de los factores hallados colocas detrás de cada signo. Ejemplo 6: Trinomio de la forma mx + px + q, (m 1) Al resolver el ejercicio debes efectuar los productos indicados, para ello aplicamos la propiedad distributiva. Como puedes observar, los trinomios obtenidos son de la forma mx + px + q y los coeficientes m, p y q se obtienen como muestra el recuadro: De modo general se cumple: (ax + b)(cx + d) = acx + (ad + bc)x + bd = mx + px + q; donde m = ac ; q = bd y p = ad + bc Por lo tanto, siempre que sea posible determinar los números a, b, c y d, tales que ac = m; bd = q y ad + bc = p se cumple: mx + px + q = (ax + b)(cx + d) Para determinar estos números se aplica el procedimiento siguiente llamado método de los productos cruzados o de los coeficientes: Veamos en el ejemplo cómo aplicarlo en un ejercicio concreto: Al efectuar la factorización de estos trinomios, aplicando dicho procedimiento, se obtiene la respuesta que se muestra. Observa en el segundo y tercer inciso que hay términos como el 4 y el 6, que tiene más de una combinación para buscar los factores, por lo que debemos ensayar con cuidado colocando el signo adecuado a cada uno de ellos. Es de gran importancia tomar en cuenta las siguientes indicaciones: 34

8 Al buscar los factores de cada término de los extremos, trata de colocar positivos los correspondientes al primer término y variar solo los del segundo. Analizar con cuidado la regla de los signos en el segundo factor. Al colocar la respuesta se hace con los términos que están colocados horizontalmente, y no de manera cruzada. Los trinomios cuadrado perfecto y de la forma mx 2 + px + qse pueden factorizar aplicando el método de los productos cruzados, ya que son casos particulares del trinomio mx 2 + px + q, cuando m = 1. Después de aprender cómo factorizar cada uno de los casos estudiados, es importante que prestes atención a la factorización combinada, o sea, descomponer una expresión algebraica aplicando más de un caso. En el siguiente ejemplo se muestra un ejercicio con estas características: En el inciso a, se combina el factor común y la diferencia de dos cuadrados. En el inciso b, se combina el factor común y el trinomio cuadrado perfecto. En el inciso c, combinamos el factor común con el trinomio de la forma mx 2 + px + q. Por último en el inciso d, se combina la factorización de un trinomio y una diferencia de cuadrados. En este caso el trinomio se denomina bicuadrático, ya que la variable en el primer término está elevada a exponente cuatro; y se puede factorizar de esta manera ya que el exponente del término central es la mitad del exponente de la variable en el primer término. Al factorizar expresiones donde se combine más de un caso, siempre se investigará primero la existencia o no de un factor 35

9 común, y luego se analizará si la expresión resultante es un binomio o un trinomio. A continuación en el siguiente recuadro se resumen los pasos a seguir: Recuerda: La factorización nos permite transformar sumas en productos. Al factorizar trinomios se puede utilizar siempre el método de los productos cruzados, es un método general. Al factorizar se debe verificar primero la existencia o no de un factor común y luego analizar si la expresión es un binomio o un trinomio. Al buscar los signos de los factores en los binomios, al factorizar trinomios, ten en cuenta que: 1. Si el término independiente es positivo, los signos de los factores son iguales y dependen del signo del término central. 2. Si el término independiente es negativo, los signos de los factores son diferentes, uno más y otro menos; y se le coloca el factor mayor el signo que se encuentra en el término central del trinomio. 3. No siempre es posible expresar las sumas como productos, en ese caso se dice que la expresión no tienen factorización. 36

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