**********************************************************************


Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "**********************************************************************"

Transcripción

1 1..- a) Dimensionar la sección de la viga sabiendo que está compuesta por dos tablones dispuestos como se indica en la figura (se trata de hallar a). Tensión admisible de la madera: σ adm, tracción = 50 kg/cm σ adm, compresión = 80 kg/cm b) Razonar si sería o no más conveniente invertir la posición de los tablones. 3a a a 3a ********************************************************************** a) A la vista de los resultados del ejercicio 1.1, podemos afirmar que no hay tensiones normales. Por lo tanto, y como el cortante no tiene importancia respecto al momento flector, dimensionaremos la viga por la ley de Navier, es decir, considerando que la viga trabaja exclusivamente a flexión: z σ adm donde z es el módulo resistente de la sección. Pero en este caso el perfil de la viga es asimétrico, por lo que tendrá dos módulos resistentes diferentes, según consideremos y ó y min (y hacia arriba o hacia abajo). En consecuencia, deberemos estudiar el valor mínimo que debería tener a, según que el momento sea el máximo positivo posible ó el máximo negativo (signo positivo ). Es decir, deberemos plantear para cada uno de los módulos resistentes del perfil las dos ecuaciones siguientes: + z σ adm (1) z σ adm () En ambas expresiones σ adm será la σ adm,tracción ó σ adm,compresión, dependiendo de que el módulo resistente utilizado considere la parte de perfil trabajando a tracción o a compresión respectivamente. En la figura 1 se muestra el diagrama de momentos flectores que obtuvimos para la viga en el problema 1.1 con sus valores característicos acotados: ETS-CA. Departamento de ngeniería Mecánica. Elasticidad y Resistencia de Materiales. 3º ND.

2 A B C D E x Figura Los dos módulos resistentes que tiene el perfil del enunciado se calculan de la siguiente manera: = 1 y = y donde es el momento de inercia del perfil respecto al eje. Este eje, así como y e y min pueden verse en la figura. min 3a a A 1 c.d.g 1 a y = 1.5a a C.D.G c.d.g 3a y min =.5a A a Figura En la figura podemos apreciar cómo el eje respecto al cual flecta la viga en la sección considerada pasa por el centro de gravedad de la misma (C.D.G), que es fácilmente calculable a partir de la geometría de los dos tablones que la constituyen y cuya posición también aparece marcada en la figura. El eje coincide con la fibra neutra de la sección. A continuación calculamos valiéndonos del teorema de Steiner. Supondremos a en cm. ETS-CA. Departamento de ngeniería Mecánica. Elasticidad y Resistencia de Materiales. 3º ND.

3 = A1 + z A 1 = 3 a a a a 1 + a 1 3 ( 3 a) + 3 a a 17 4 = a cm 4 Los valores de los dos módulos resistentes posibles son los siguientes: 1 y 3 = = = a cm a 1.5 a 17 3 y 3 = = = a cm 3. min 4 17 a.5 a 17 5 Siguiendo las explicaciones dadas al comienzo de este apartado, calculamos para + y para el valor mínimo de a necesario de acuerdo a cada uno de los dos posibles módulos resistentes. + = 800 kg m. En este caso la parte del perfil situada por encima de la fibra neutra trabaja a compresión, mientras que la localizada por debajo lo hace a tracción. Estas dos zonas están directamente relacionadas con 1 y respectivamente. Aplicando la ecuación (1) a cada uno de ellos resulta: + 1º) 1 σadm, compresion a 3 a cm. + º) σadm, traccion a 5 a cm. = kg m. En este caso es la parte superior la que trabaja a tracción mientras que la inferior trabaja a compresión. Aplicando la ecuación (): 1º) 1 σadm, traccion a 3 a cm. ETS-CA. Departamento de ngeniería Mecánica. Elasticidad y Resistencia de Materiales. 3º ND.

4 º) σadm, compresion a 5 a cm. Para que la viga quede bien dimensionada debemos quedarnos con el mayor de los valores obtenidos, redondeado a un número entero de cm. (habitual en construcciones de madera). Así, las dimensiones de cada uno de los tablones que forman la sección serán: 8 cm. 4 cm. b) Si diésemos la vuelta al perfil, en la sección en que el momento flector vale 1000 kg m ( ), la parte delgada trabajaría a tracción y la gruesa a compresión. Si comprobamos cuál debería ser el valor mínimo de a para que el perfil fuese capaz de soportar la máxima tensión de tracción que genera dicho momento obtendríamos: σ adm,traccion a 5 a cm. Este valor es mayor que cualquiera de los obtenidos con el perfil en la posición del apartado anterior. Luego no es conveniente invertir la posición de los tablones, pues las dimensiones de los mismos deberían ser mayores que las obtenidas en a). Al salir 8.37 cm. habría que redondear a un número entero de cm. por exceso, lo que supondría 9 cm. Tengamos en cuenta que generalmente se busca utilizar la mínima cantidad de material posible. ETS-CA. Departamento de ngeniería Mecánica. Elasticidad y Resistencia de Materiales. 3º ND.

5 1.3.- a) Dimensionar la sección de la viga sabiendo que está compuesta por un perfil PN. b) Una solución alternativa consiste en elegir el segundo perfil anterior al que resulta en el apartado a) y suplementarlo, donde sea necesario, con platabandas de 60x6 mm. Comprobar si esta solución es aceptable y determinar el intervalo teórico de la viga en que habrían de colocarse las platabandas. σ adm = 1600 kg/cm ********************************************************************** a) Por ser el PN un perfil simétrico, las dimensiones que deberá tener dicho perfil vendrán determinadas por el valor del momento flector que tenga mayor valor absoluto, independientemente de que éste sea máximo positivo o máximo negativo, ya que el módulo resistente de la sección es el mismo, considerando la parte situada por encima de la fibra neutra, que considerando la parte situada por debajo. El perfil deberá tener un módulo resistente tal que sea capaz de soportar las máximas tensiones de tracción-compresión que genera el momento flector, sin que éstas sobrepasen el valor de σ adm ; luego: Y Platabandas σ adm Ya conocemos el diagrama de momentos flectores asociados a la viga del problema (en kg m):

6 Por lo tanto: = 1000 kg m cm 3. En consecuencia deberemos buscar en el prontuario de perfiles PN el perfil más pequeño que asegure que 6.5 cm 3. Obtenemos: PN-140 = cm σ = = 11 kg/cm 354 en el que se verifica que σ adm > σ. b) Se pide ahora utilizar el segundo perfil anterior al calculado en el apartado anterior, reforzándolo donde resulte necesario con platabandas de 60 mm. 6 mm. Sacamos del prontuario las características para este perfil, que será un PN-100: = 34. cm 3 = 171 cm 4 Debemos determinar ahora los tramos en que tendremos que utilizar platabandas. Para ello calcularemos el máximo momento flector (positivo o negativo), que el perfil PN-00 es capaz de absorber sin sobrepasar σ adm : σ adm =, PN 0 PN, =, PN kg m. =, PN 0 Los tramos de viga donde se utilizarán platabandas corresponderán con todas aquellas zonas del diagrama de momentos flectores donde el momento flector, positivo o negativo, sea en valor absoluto superior a 344 kg m. Estas zonas aparecen sombreadas en la siguiente figura: d 1 d d 3 d 4 d

7 Del problema 13.1 conocemos las expresiones analíticas del diagrama de momentos flectores; a partir de ellas podremos calcular los valores de d 1, d, d 3, d 4 y d 5 ( momento flector positivo) kg m. = 547. kg m., PN 0 =, PN 0 0 < x < 4 m. = x kg m. 4 < x < 5 m. = 00 x x kg m. 5 < x < 10 m. = 00 x x 1000 kg m. 0 < d 1 < 4 m. ( x = d1) = 547. kg m. d 1 = m. 4 < d < 5 m. ( x = d ) = 547. kg m. d = m. 5 < d 3 < 6 m. ( x = d 3 ) = 547. kg m. d 3 = m. 6 < d 1 < 8 m. ( x = d 4 ) = 547. kg m. d 4 = m. 8 < d 1 < 10 m. ( x = d5 ) = 547. kg m. d 5 = m. Por lo tanto será preciso utilizar platabandas en los siguientes tramos: 0 < x < 1.64 m < x < m < x < 9.14 m. En la práctica los tramos en los que se ponen platabandas no corresponderían con esos exactamente, sino que en general cada uno de esos intervalos se ve aumentado en una longitud extra a cada uno de sus lados. Esta longitud extra puede ser la misma en todos los intervalos, o bien diferente para cada uno de ellos. Ya conocemos los intervalos donde se utilizarán platabandas, pero todavía nos queda por determinar cuántas platabandas habrá que utilizar en cada uno de ellos.

8 Para conservar la simetría del perfil las platabandas se ponen a ambos lados del mismo: Y 6 cm. 0.6 cm. 5 cm. y PN-100 Utilizando el teorema de Steiner podemos calcular el momento de inercia de la sección total, ztotal : 1 3 = + = = TOTAL PN PLATABANDA 1 cm 4. De modo que: TOTAL = = = = cm 3. TOTAL y El momento máximo que el perfil reforzado con platabandas a ambos lados es capaz de absorber sin generar σ superiores a σ adm es: σ = TOTAL 1600 = = kg m Este valor es superior al máximo valor absoluto de los momentos flectores de la viga considerada; por lo tanto, basta reforzar con una platabanda a cada lado.

9 13..- a) Calcular los momentos de inercia y el producto de inercia de la sección de la figura respecto a los ejes Y-. b) Determinar si la sección es válida para la viga. σ adm = 1600 kg/cm UPN-00 G SECCÓN Y UPN-00 ********************************************************************** a) Lo primero que debemos hacer es calcular la posición del c.d.g del perfil compuesto por los dos UPN-00; lo denominaremos G. Para ello nos fijaremos en el siguiente croquis (ver figura 1), en el que las distancias que aparecen representadas permiten situar los c.d.g de cada uno de los dos UPN-00, siendo G 1 el correspondiente al perfil de la izquierda y G el referido al perfil de la derecha. Los valores de estas distancias se han obtenido del prontuario para perfiles UPN. Las cotas están en cm. Y G 1 d G 10 G d 1 10 Figura 1 A la vista de la figura anterior y puesto que ambos perfiles son iguales, y por lo tanto tendrán el mismo área, el c.d.g del perfil completo (G), se encontrará en el punto medio del segmento que une G 1 y G, de modo que (ver figura 1): d 1 = 6 cm. d = 4 cm. El prontuario nos facilita los momentos de inercia de los perfiles UPN-00 que configuran el perfil completo respecto a ejes paralelos a los Y y, y que pasan por los

10 c.d.g G 1 y G respectivamente. Utilizando el teorema de Steiner podremos conocer los momentos de inercia del perfil completo ( Y e respectivamente). = = 1910 cm 4. = = 148 cm 4. YG1 G G1 YG También obtenemos del prontuario el área de un UPN-00: A UPN 00 = 3. cm. Luego: ( G1 ) ( G 00 1 ) = + = + A d + + A d = 4376 cm 4. Y Y1 Y Y UPN 00 1 Y UPN ( G1 ) ( G 00 ) = + = + A d + + A d = 3088 cm 4. 1 UPN 00 UPN Obtengamos ahora el valor del producto de inercia Y. Los productos de inercia de cada uno de los dos perfiles respecto a ejes paralelos a los Y y, pero que pasan por sus c.d.g, G 1 y G, son nulos por tratarse de ejes principales de inercia. Así, apoyándonos de nuevo en el teorema de Steiner. = + A d d = = 773 cm 4. Y1 YG1 UPN 00 1 ( ) ( ) Y = Y + AUPN d d G 00 1 = = 773 cm 4. Por lo tanto: Y = Y 1 + Y = 773 = 1546 cm 4. b) Deseamos conocer si la sección es válida para la viga. Para ello deberemos encontrar el valor σ y compararlo con σ adm.

11 Del ejercicio 15.1 conocemos el diagrama de momentos flectores de la viga; éste se muestra en la figura (valores en kg m) Figura En el diagrama anterior observamos que el momento flector máximo (en este caso positivo), se da en la sección x = 3 m ; es en esta sección donde encontraremos la σ. M = 800 kg m = kg cm. En este caso los ejes Y y no son ejes principales de inercia, de modo que para obtener la distribución de tensiones normales generadas por el momento flector en la sección mencionada anteriormente deberemos utilizar la fórmula general. siendo k σ = k 1 y + k z M + M = Y Y Y 1 Y Y k M + M = Y Y Y Y Para nosotros M Y = 0 y M = M = kg cm. Los momentos y el producto de inercia del perfil completo los conocemos del apartado a). Así, resulta: k 1 = kg/cm 3. k = kg/cm 3.

12 con lo que σ = y z kg/cm. La ecuación de la fibra neutra es la siguiente: y z = 0 y = z En la figura 3 se ha dibujado la fibra neutra sobre el perfil completo: Y G 1 G G Fibra neutra P Figura 3 Como ya dijimos, para determinar si la sección de la viga es válida, debemos conocer σ, que está asociada con el punto más desfavorable. Este punto es siempre aquel que se encuentra más alejado de la fibra neutra. En la figura 3 puede observarse cómo este punto es el que aparece marcado con la letra P. Las coordenadas del punto P respecto a los ejes Y y son: y P = -14 cm. z P = -4 cm. por lo tanto σ k y P k z P ( ) ( ) = 1 + = = 1386 kg/cm < σ adm Luego la sección es válida para la viga.

13 14. En la estructura del ejercicio 14.1, y utilizando los resultados allí obtenidos, hallar el máximo valor posible de q para σ adm = 1730 kg/cm. La sección transversal está constituida por dos PN 160 colocados como se indica : Dato: a = 00 m. q q q q a a a a ********************************************************************** Se trata de un perfil compuesto, de modo que lo primero es determinar su c.d.g, al que denominaremos G, y su momento total de inercia, (ver figura). Y g 1 d g G 1 G g H G Figura Como los dos perfiles que forman el compuesto son PN-160, el c.d.g buscado estará en el punto medio del segmento que une G 1 y G. Los datos necesarios para el cálculo de las distancias que se necesitan se obtienen del prontuario de perfiles. g g 1 h = = 8 cm. e h = + = + = cm. g = g + g 1 = cm. e b b H = h+ + = g + = = cm. d = g g = g g1 = cm. A PN 160 =. 8 cm.

14 Para el cálculo del utilizaremos el teorema de Steiner. Del prontuario conocemos: G1 = 935 cm 4. G = cm 4. Por lo tanto: = + = + A PN d + + A PN d = 1 ( G 160 ) ( 1 G 160 ) cm 4. Para el cálculo de q despreciaremos la influencia que pueda tener el esfuerzo cortante, pues tiene muy poca relevancia. Sin embargo, debemos tener en cuenta que las tensiones normales serán generadas no sólo por el momento flector, sino también por el esfuerzo normal. Así, q será aquella que haga que en la sección más desfavorable la tensión normal total sea igual a la σ adm : σ adm y N A = + (1) Del diagrama de momentos flectores del apartado a) se obtiene que el momento flector máximo (en este caso positivo), se da en la sección s = m y tiene un valor: 3 = q a kg m. El valor máximo de la expresión (1) se dará en dicha sección y puesto que el esfuerzo normal es de compresión, el máximo se obtendrá en la fibra más alejada de la fibra neutra por el lado del perfil que trabaje a compresión, de modo que la ecuación (1) también puede escribirse: σ adm N A = + () En este caso el perfil de la viga es asimétrico respecto al eje, por lo que tendrá dos módulos resistentes diferentes según consideremos y ó y min. Tal y como aparece dibujada la sección de la viga en la figura 5, puesto que es positivo, la mayor tensión normal de compresión generada por él se encontrará para y = g = cm. Sin embargo, si el perfil se colocase al revés, y = H-g = cm. Como buscamos la q posible para cualquier circunstancia, deberemos situarnos en el caso más desfavorable, lo que ocurre cuando el perfil se coloca en la posición para la que el módulo de resistencia a la flexión es mínimo, es decir en la posición para la que: y = cm = = = cm 3. y

15 El valor del esfuerzo normal en la sección s = m es: N = q a kg. En nuestro caso a = m, por lo tanto la expresión () queda: 1730 = 3 q q.8 q = kg/m.

16 17.- Hallar z de un cuadrado de 10 cm de lado en cada uno de los casos representados; en c) se han suprimido las esquinas superior e inferior, d = 0 8 cm. Qué comentarios se te ocurren a la vista de los resultados? Cita otras secciones en las que pudieran darse circunstancias similares. a) b) c) d d ********************************************************************** En todos los casos se trata de calcular el módulo resistente correspondiente, de modo que la fórmula a aplicar en todos los apartados será: = y donde e y dependerán del perfil considerado. a ) L y = = y 1 L 1 L L 10 = = = cm b) y 45º L y = L sen 45 = L cm. El perfil es el mismo cuadrado del apartado a) girado 45º ; en un cuadrado, cualquier dirección que pase por su centro de gravedad es un eje principal del mismo y cuando esto ocurre, es el mismo sea cual sea el eje considerado; es decir, en este caso tiene el mismo valor que el calculado en a). Así: 1 = = 1 y L L 4 3 = L = cm 3. 1

17 c) L d y En este caso: d y = L cos 45º 0. 8 = cm. será el del perfil completo (calculado en los apartados anteriores), menos la parte que aportan las dos secciones triangulares eliminadas. El momento de inercia de una sección triangular respecto a un eje paralelo a su base que pasa por su centro de gravedad, se calcula según la expresión: h c.d.g h/ 1.. = b h 36 t cdg 3 b Haciendo uso de la expresión anterior, y mediante el teorema de Steiner, se obtiene: d = t = t + At y a b a b c d g + = ), ) ), ) = ( ) d d d ( d) d y 3 = 1 = ( ) + ( ) = cm = = = 14. cm 3. y

18 A la vista de los resultados, puede concluirse, que contrariamente a lo que podría pensarse, hay casos en los que un aumento de área en la sección de un perfil, no origina una disminución de las tensiones máximas que genera sobre ésta la actuación de un momento flector. Para un momento flector dado la tensión máxima en una sección depende del módulo resistente de ésta. Este módulo resistente es la relación entre el momento de inercia y la mitad de la altura de la sección. En el caso del apartado c), al eliminar material de la forma indicada, el momento de inercia de la sección ha disminuido en menor proporción que la altura, por lo que el módulo resistente ha aumentado, y σ disminuye para un mismo momento flector. Efector análogos pueden obtenerse en otros casos. En las siguientes figuras, el módulo resistente de las secciones puede aumentarse a veces, quitando las partes sombreadas; la condición a cumplir es que disminuya en menor proporción que la altura. (a) (b) (c)

19 18.- Dimensionar la viga de la figura con perfil HEB. σ adm = 1730 kg/cm 6000kg 500kg 1 m 1 m 1 m ********************************************************************** En primer lugar resolvemos la estática. Por el tipo de sujeción que la viga tiene en sus extremos y el tipo de solicitaciones, encontraremos en cada uno de ellos una reacción vertical, y otra horizontal en dirección (ver figura 1) kg y R Bz R Az A B x 500 kg R By z R Ay 1 m 1 m 1 m Figura 1 ΣM By = 0 R Az = 0 R Az = 1667 kg. ΣM Bz = 0 R Ay = 0 R Ay = 000 kg. ΣF y = 0 R R = 0 R By = 4000 kg. By ΣF z = 0 R R = 0 R Bz = 833 kg. Bz Ay Az Así, el diagrama de cuerpo libre de la viga queda como en la figura kg 833 kg kg. A B 000 kg. 500 kg 4000 kg. Figura

20 Se deduce de la figura anterior que la viga trabajará fundamentalmente a flexión, y que existen dos leyes de variación del momento flector, Mz y My, respectivamente. Obtendremos a continuación la representación gráfica de cada una de estas leyes, así como sus valores característicos. LEY DE VARACÓN My. Se obtiene a partir del diagrama de cuerpo libre de la viga en el plano X (ver figura 3). 833 kg. A B 1667 kg. 500 kg. 1 m. m. Figura 3 La forma del diagrama del momento flector asociado a dicha figura (My) es: My (x =1) x (m) Figura 4 Su valor característico es: M y (x=1) = = kg m.

21 LEY DE VARACÓN Mz. Procediendo de la misma manera, pero considerando ahora el diagrama de cuerpo libre en el plano XY (figura 5), se obtiene el diagrama del momento flector Mz (figura 6) kg. B 000 kg. A 4000 kg. m. 1 m. Figura x (m) Mz (x =) Figura 6 El valor característico de Mz es: Mz (x=) = = 4000 kg m. Deberemos encontrar el perfil HEB que sea capaz de absorber ambos momentos, My y Mz, simultáneamente; se trata, pues, de un problema de flexión desviada. En este caso no es preciso calcular la posición de la fibra neutra (pues el perfil es simétrico), de modo que puede utilizarse la siguiente fórmula: σ adm Mz My + z y (1)

22 El máximo buscado para la expresión anterior podrá ser positivo o negativo, según consideremos tracciones o compresiones, pues suponemos que σ adm es la misma en valor absoluto para tracción y para compresión; es decir, el material tiene las mismas propiedades trabajando a tracción que trabajando a compresión. Por la forma de los diagramas de momentos flectores My y Mz, el valor máximo buscado para (1) se encontrará en uno de los valores de x para los que bien My, bien Mz, tengan un máximo (positivo o negativo); si comparamos los diagramas de momentos flectores My y Mz, a lo largo del eje de la viga (ver figura 7), se observa que estos valores de x serán x=1 y x=. My 1667 kg m. My (x=) x (m) Mz x (m) Mz (x=1) 4000 kg m. Figura 7 En la figura 7: My (x=) = = -833 kg m. Mz (x=1) = = 000 kg m.

23 Podemos calcular el perfil necesario para soportar el momento flector máximo (positivo o negativo), que encontramos en las gráficas de la figura 7, y que es: Mz (x=) = 4000 kg m. Esto, que sería como suponer que estamos ante un problema de flexión simple, nos facilita una cota inferior del orden de magnitud que tendrá el perfil buscado. Una vez calculada dicha cota inferior, deberemos comprobar si las dimensiones correspondientes a la misma serían suficientes para absorber la flexión desviada del problema, para lo que utilizaremos la expresión (1). Este proceso es el que se sigue a continuación: Mz (x=) = 4000 kg m. σ adm Mz( x = ) z z 3 cm 3. z El perfil HEB más pequeño con un módulo resistente superior a 3 cm 3 respecto al eje es un HEB-160. HEB-160 z = 311 cm 3. y = 111 cm 3. Comprobamos si el perfil HEB-160 es suficiente para soportar las tensiones generadas por el estado de flexión desviada que existe en x = m = 037 > σ adm no válido Necesitamos un perfil mayor. Probamos con HEB-180, también para x = m. HEB-180 z = 46 cm 3. y = 151 cm = 1491 < σ adm válido para x = m

24 Debemos comprobar ahora si el perfil HEB-180 es también suficientemente resistente en el otro punto donde es posible que la expresión (1) sea máxima, que es x = 1 m = 1573 < σ adm válido también para x = 1 m. Por lo tanto, necesitamos un HEB-180, para el que σ será 1573 kg/cm, valor inferior que σ adm, que es 1730 kg/cm.

Capítulo 4. FLEXIÓN PURA Y FLEXIÓN SIMPLE

Capítulo 4. FLEXIÓN PURA Y FLEXIÓN SIMPLE Roberto Imaz Gutiérrez. Este capítulo se publica bajo Licencia Creative Commons BY NC SA 3.0 Capítulo 4. FLEXIÓN PURA Y FLEXIÓN SIMPLE 4.1 GENERALIDADES Se dice que una pieza está sometida a flexión pura

Más detalles

Este documento ha sido generado para facilitar la impresión de los contenidos. Los enlaces a otras páginas no serán funcionales.

Este documento ha sido generado para facilitar la impresión de los contenidos. Los enlaces a otras páginas no serán funcionales. Este documento ha sido generado para facilitar la impresión de los contenidos. Los enlaces a otras páginas no serán funcionales. Introducción Por qué La Geometría? La Geometría tiene como objetivo fundamental

Más detalles

RELOJES DE SOL. 1. Movimiento diurno del Sol. 2. Variaciones anuales del movimiento del Sol

RELOJES DE SOL. 1. Movimiento diurno del Sol. 2. Variaciones anuales del movimiento del Sol 1. Movimiento diurno del Sol RELOJES DE SOL Sin necesidad de utilizar instrumento alguno, todo el mundo sabe que el Sol, por la mañana sale por algún lugar hacia el Este, que hacia el mediodía está en

Más detalles

SOLUCIONES CIRCUNFERENCIA. 1. Ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto (1, 2) y que pasa por el punto (2,3).

SOLUCIONES CIRCUNFERENCIA. 1. Ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto (1, 2) y que pasa por el punto (2,3). SOLUCIONES CIRCUNFERENCIA 1. Ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto (1,) y que pasa por el punto (,). Para determinar la ecuación de la circunferencia es necesario conocer el centro y el

Más detalles

Cátedra de Ingeniería Rural Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Agrícola de Ciudad Real VIGAS EN CELOSÍA.

Cátedra de Ingeniería Rural Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Agrícola de Ciudad Real VIGAS EN CELOSÍA. VIGAS EN CELOSÍA. 1. Introducción. Cuando necesitamos salvar luces importantes (a partir de 10-15 m por ejemplo), o necesitamos tener vigas de cantos importantes, puede resultar más económico utilizar

Más detalles

Definición de vectores

Definición de vectores Definición de vectores Un vector es todo segmento de recta dirigido en el espacio. Cada vector posee unas características que son: Origen: O también denominado Punto de aplicación. Es el punto exacto sobre

Más detalles

ESTATICA: TIPOS DE MAGNITUDES: CARACTERÍSTICAS DE UN VECTOR. Rama de la física que estudia el equilibrio de los cuerpos.

ESTATICA: TIPOS DE MAGNITUDES: CARACTERÍSTICAS DE UN VECTOR. Rama de la física que estudia el equilibrio de los cuerpos. ESTATICA: Rama de la física que estudia el equilibrio de los cuerpos. TIPOS DE MAGNITUDES: MAGNITUD ESCALAR: Es una cantidad física que se especifica por un número y una unidad. Ejemplos: La temperatura

Más detalles

ESTÁTICA 2. VECTORES. Figura tomada de http://www.juntadeandalucia.es/averroes/~04001205/fisiqui/imagenes/vectores/473396841_e1de1dd225_o.

ESTÁTICA 2. VECTORES. Figura tomada de http://www.juntadeandalucia.es/averroes/~04001205/fisiqui/imagenes/vectores/473396841_e1de1dd225_o. ESTÁTICA Sesión 2 2 VECTORES 2.1. Escalares y vectores 2.2. Cómo operar con vectores 2.2.1. Suma vectorial 2.2.2. Producto de un escalar y un vector 2.2.3. Resta vectorial 2.2.4. Vectores unitarios 2.2.5.

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS TEMA: 3

PROBLEMAS RESUELTOS TEMA: 3 PROBLEMAS RESUELTOS TEMA: 3 1. Una partícula de 3 kg se desplaza con una velocidad de cuando se encuentra en. Esta partícula se encuentra sometida a una fuerza que varia con la posición del modo indicado

Más detalles

a < b y se lee "a es menor que b" (desigualdad estricta) a > b y se lee "a es mayor que b" (desigualdad estricta)

a < b y se lee a es menor que b (desigualdad estricta) a > b y se lee a es mayor que b (desigualdad estricta) Desigualdades Dadas dos rectas que se cortan, llamadas ejes (rectangulares si son perpendiculares, y oblicuos en caso contrario), un punto puede situarse conociendo las distancias del mismo a los ejes,

Más detalles

Seminario Universitario Material para estudiantes. Física. Unidad 2. Vectores en el plano. Lic. Fabiana Prodanoff

Seminario Universitario Material para estudiantes. Física. Unidad 2. Vectores en el plano. Lic. Fabiana Prodanoff Seminario Universitario Material para estudiantes Física Unidad 2. Vectores en el plano Lic. Fabiana Prodanoff CONTENIDOS Vectores en el plano. Operaciones con vectores. Suma y producto por un número escalar.

Más detalles

Ejercicio de ejemplo - Diagramas de solicitaciones. Se plantea el problema de hallar los diagramas de solicitaciones de la siguiente ménsula:

Ejercicio de ejemplo - Diagramas de solicitaciones. Se plantea el problema de hallar los diagramas de solicitaciones de la siguiente ménsula: Ejercicio de ejemplo - Diagramas de solicitaciones Se plantea el problema de hallar los diagramas de solicitaciones de la siguiente ménsula: 1- Reacciones: En primer lugar determinamos el valor de las

Más detalles

FUNCIONES CUADRÁTICAS Y RACIONALES

FUNCIONES CUADRÁTICAS Y RACIONALES www.matesronda.net José A. Jiménez Nieto FUNCIONES CUADRÁTICAS Y RACIONALES 1. FUNCIONES CUADRÁTICAS. Representemos, en función de la longitud de la base (), el área (y) de todos los rectángulos de perímetro

Más detalles

Geometría analítica. Impreso por Juan Carlos Vila Vilariño Centro I.E.S. PASTORIZA

Geometría analítica. Impreso por Juan Carlos Vila Vilariño Centro I.E.S. PASTORIZA Conoce los vectores, sus componentes y las operaciones que se pueden realizar con ellos. Aprende cómo se representan las rectas y sus posiciones relativas. Impreso por Juan Carlos Vila Vilariño Centro

Más detalles

5.3 Esfuerzos y deformaciones producidos por flexión. Puente grúa. 5.3.1 Flexión pura

5.3 Esfuerzos y deformaciones producidos por flexión. Puente grúa. 5.3.1 Flexión pura 5.3 Esfuerzos y deformaciones producidos por flexión Puente grúa 5.3.1 Flexión pura Para cierta disposición de cargas, algunos tramos de los elementos que las soportan están sometidos exclusivamente a

Más detalles

35 Facultad de Ciencias Universidad de Los Andes Mérida-Venezuela. Potencial Eléctrico

35 Facultad de Ciencias Universidad de Los Andes Mérida-Venezuela. Potencial Eléctrico q 1 q 2 Prof. Félix Aguirre 35 Energía Electrostática Potencial Eléctrico La interacción electrostática es representada muy bien a través de la ley de Coulomb, esto es: mediante fuerzas. Existen, sin embargo,

Más detalles

GUIAS ÚNICAS DE LABORATORIO DE FÍSICA I ASPECTOS PRELIMINARES SUMA DE VECTORES

GUIAS ÚNICAS DE LABORATORIO DE FÍSICA I ASPECTOS PRELIMINARES SUMA DE VECTORES GUIAS ÚNICAS DE LABORATORIO DE FÍSICA I ASPECTOS PRELIMINARES SUMA DE VECTORES SANTIAGO DE CALI UNIVERSIDAD SANTIAGO DE CALI DEPARTAMENTO DE LABORATORIOS SUMA DE VECTORES OBJETIVOS Usar la mesa de fuerzas

Más detalles

UNIDAD 4: PLANO CARTESIANO, RELACIONES Y FUNCIONES. OBJETIVO DE APRENDIZAJE: Representar gráficamente relaciones y funciones en el plano cartesiano.

UNIDAD 4: PLANO CARTESIANO, RELACIONES Y FUNCIONES. OBJETIVO DE APRENDIZAJE: Representar gráficamente relaciones y funciones en el plano cartesiano. UNIDAD 4: PLANO CARTESIANO, RELACIONES Y FUNCIONES OBJETIVO DE APRENDIZAJE: Representar gráficamente relaciones y funciones en el plano cartesiano. EL PLANO CARTESIANO. El plano cartesiano está formado

Más detalles

Juan Antonio González Mota Profesor de Matemáticas del Colegio Juan XIII Zaidín de Granada

Juan Antonio González Mota Profesor de Matemáticas del Colegio Juan XIII Zaidín de Granada FUNCIONES CONTINUAS. La mayor parte de las funciones que manejamos, a nivel elemental, presentan en sus gráficas una propiedad característica que es la continuidad. La continuidad de una función definida

Más detalles

_ Antología de Física I. Unidad II Vectores. Elaboró: Ing. Víctor H. Alcalá-Octaviano

_ Antología de Física I. Unidad II Vectores. Elaboró: Ing. Víctor H. Alcalá-Octaviano 24 Unidad II Vectores 2.1 Magnitudes escalares y vectoriales Unidad II. VECTORES Para muchas magnitudes físicas basta con indicar su valor para que estén perfectamente definidas y estas son las denominadas

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SOBRE MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE

PROBLEMAS RESUELTOS SOBRE MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE PROBLEMAS RESUELTOS SOBRE MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE ) La ecuación de un M.A.S. es x(t) cos 0t,, en la que x es la elongación en cm y t en s. Cuáles son la amplitud, la frecuencia y el período de este

Más detalles

EJERCICIOS DE FUNCIONES REALES

EJERCICIOS DE FUNCIONES REALES EJERCICIOS DE FUNCIONES REALES.- La ley que relaciona el valor del área de un cuadrado con la longitud de su lado es una función. Sabemos que la epresión que nos relacionas ambas variables es. Observa

Más detalles

Tema 2. Espacios Vectoriales. 2.1. Introducción

Tema 2. Espacios Vectoriales. 2.1. Introducción Tema 2 Espacios Vectoriales 2.1. Introducción Estamos habituados en diferentes cursos a trabajar con el concepto de vector. Concretamente sabemos que un vector es un segmento orientado caracterizado por

Más detalles

Muchas veces hemos visto un juego de billar y no nos percatamos de los movimientos de las bolas (ver gráfico 8). Gráfico 8

Muchas veces hemos visto un juego de billar y no nos percatamos de los movimientos de las bolas (ver gráfico 8). Gráfico 8 Esta semana estudiaremos la definición de vectores y su aplicabilidad a muchas situaciones, particularmente a las relacionadas con el movimiento. Por otro lado, se podrán establecer las características

Más detalles

Equivalencia financiera

Equivalencia financiera Equivalencia financiera 04 En esta Unidad aprenderás a: 1. Reconocer la equivalencia de capitales en distintas operaciones financieras a interés simple. 2. Calcular a interés simple los vencimientos común

Más detalles

APLICACIONES DE LA DERIVADA

APLICACIONES DE LA DERIVADA 7 APLICACIONES DE LA DERIVADA Página 68 Relación del crecimiento con el signo de la primera derivada Analiza la curva siguiente: f decrece f' < 0 f crece f' > 0 f decrece f' < 0 f crece f' > 0 f decrece

Más detalles

TEMA: CAMPO ELÉCTRICO

TEMA: CAMPO ELÉCTRICO TEMA: CAMPO ELÉCTRICO C-J-06 Una carga puntual de valor Q ocupa la posición (0,0) del plano XY en el vacío. En un punto A del eje X el potencial es V = -120 V, y el campo eléctrico es E = -80 i N/C, siendo

Más detalles

EXAMEN FÍSICA 2º BACHILLERATO TEMA 4: ÓPTICA

EXAMEN FÍSICA 2º BACHILLERATO TEMA 4: ÓPTICA INSTRUCCIONES GENERALES Y VALORACIÓN La prueba consiste de dos opciones, A y B, y el alumno deberá optar por una de las opciones y resolver las tres cuestiones y los dos problemas planteados en ella, sin

Más detalles

PARÁBOLA. 1) para la parte positiva: 2) para la parte negativa: 3) para la parte positiva: 4) para la parte negativa:

PARÁBOLA. 1) para la parte positiva: 2) para la parte negativa: 3) para la parte positiva: 4) para la parte negativa: Página 90 5 LA PARÁBOLA 5.1 DEFINICIONES La parábola es el lugar geométrico 4 de todos los puntos cuyas distancias a una recta fija, llamada, y a un punto fijo, llamado foco, son iguales entre sí. Hay

Más detalles

Página 123 EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS. Dominio de definición PARA PRACTICAR UNIDAD. 1 Halla el dominio de definición de estas funciones: 2x + 1

Página 123 EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS. Dominio de definición PARA PRACTICAR UNIDAD. 1 Halla el dominio de definición de estas funciones: 2x + 1 Página 3 EJERCICIOS PROBLEMAS PROPUESTOS PARA PRACTICAR Dominio de definición Halla el dominio de definición de estas funciones: 3 x a) y = y = x + x (x ) c) y = d) y = e) y = x + x + 3 5x x f) y = x x

Más detalles

Funciones lineales. Objetivos. Antes de empezar. 1.Función de proporcionalidad directa pág. 170 Definición Representación gráfica

Funciones lineales. Objetivos. Antes de empezar. 1.Función de proporcionalidad directa pág. 170 Definición Representación gráfica 10 Funciones lineales Objetivos En esta quincena aprenderás a: Identificar problemas en los que intervienen magnitudes directamente proporcionales. Calcular la función que relaciona a esas magnitudes a

Más detalles

CÁLCULO DE ELEMENTOS MÓVILES EN SOPORTES DE PLÁSTICO

CÁLCULO DE ELEMENTOS MÓVILES EN SOPORTES DE PLÁSTICO CÁLCULO DE ELEMENTOS MÓVILES EN SOPORTES DE PLÁSTICO Por Ernesto Avedillo El presente estudio tiene por objetivo realizar los cálculos necesarios para conocer los esfuerzos y deformaciones a los que se

Más detalles

Ejemplo nueve. Introducción a las Estructuras - Jorge Bernal. Se pide: Secuencia del estudio: Diseño general. Libro: Capítulo doce - Ejemplo 9

Ejemplo nueve. Introducción a las Estructuras - Jorge Bernal. Se pide: Secuencia del estudio: Diseño general. Libro: Capítulo doce - Ejemplo 9 Archivo: ie cap 12 ejem 09 Ejemplo nueve. Se pide: Dimensionar la estructura soporte del tinglado de la figura. Se analizan las solicitaciones actuantes en las correas, cabriadas, vigas y columnas, para

Más detalles

Tema 1. VECTORES (EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO)

Tema 1. VECTORES (EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO) Vectores Tema. VECTORES (EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO Definición de espacio vectorial Un conjunto E es un espacio vectorial si en él se definen dos operaciones, una interna (suma y otra externa (producto

Más detalles

RESOLUCION DE ESTRUCTURAS POR EL METODO DE LAS DEFORMACIONES

RESOLUCION DE ESTRUCTURAS POR EL METODO DE LAS DEFORMACIONES Facultad de Ingeniería Universidad Nacional de La Plata ESTRUCTURS III RESOLUCION DE ESTRUCTURS POR EL METODO DE LS DEFORMCIONES utor: Ing. Juan P. Durruty RESOLUCION DE ESTRUCTURS POR EL METODO DE LS

Más detalles

Movimiento Armónico Simple

Movimiento Armónico Simple Movimiento Armónico Simple Introducción al Movimiento Armónico Simple En esta página se pretende que el alumno observe la representación del Movimiento Armónico Simple (en lo que sigue M.A.S.), identificando

Más detalles

Gestión Financiera 2º AF 1

Gestión Financiera 2º AF 1 LEY FINANCIERA DE INTERÉS SIMPLE Gestión Financiera 2º AF 1 1.1 Concepto Operación financiera cuyo objeto es la sustitución de un capital presente por otro equivalente con vencimiento posterior, mediante

Más detalles

FUNCIONES ELEMENTALES

FUNCIONES ELEMENTALES 0 FUNCIONES ELEMENTALES Página 5 REFLEIONA RESUELVE Asocia a cada una de las siguientes gráficas una ecuación de las de abajo: A B C D 80 (, π) 50 0 5 E F G H 0 (5, ) 50 0 50 0 (, ) 5 I J K L LINEALES

Más detalles

La derivada de y respecto a x es lo que varía y por cada unidad que varía x. Ese valor se designa por dy dx.

La derivada de y respecto a x es lo que varía y por cada unidad que varía x. Ese valor se designa por dy dx. Conceptos de derivada y de diferencial Roberto C. Redondo Melchor, Norberto Redondo Melchor, Félix Redondo Quintela 1 Universidad de Salamanca 18 de agosto de 2012 v1.3: 17 de septiembre de 2012 Aunque

Más detalles

CARTILLA DE ESTÁTICA FUERZA CONCURRENTES Y NO CONURRENTES APOYOS REACCIONES DE APOYO

CARTILLA DE ESTÁTICA FUERZA CONCURRENTES Y NO CONURRENTES APOYOS REACCIONES DE APOYO CARTILLA DE ESTÁTICA FUERZA CONCURRENTES Y NO CONURRENTES APOYOS REACCIONES DE APOYO 1- Calcular, gráfica y analíticamente, la tensión en los cables que sostienen una lámpara de 30 Kg. de peso. El centro

Más detalles

Ejercicios de Trigonometría

Ejercicios de Trigonometría Ejercicios de Trigonometría 1) Indica la medida de estos ángulos en radianes: a) 0º b) 45º c) 60º d) 120º Recuerda que 360º son 2π radianes, con lo que para hacer la conversión realizaremos una simple

Más detalles

6. VECTORES Y COORDENADAS

6. VECTORES Y COORDENADAS 6. VECTORES Y COORDENADAS Página 1 Traslaciones. Vectores Sistema de referencia. Coordenadas. Punto medio de un segmento Ecuaciones de rectas. Paralelismo. Distancias Página 2 1. TRASLACIONES. VECTORES

Más detalles

Juan Antonio González Mota Profesor de Matemáticas del Colegio Juan XIII Zaidín de Granada

Juan Antonio González Mota Profesor de Matemáticas del Colegio Juan XIII Zaidín de Granada FUNCIONES CONOCIDAS. FUNCIONES LINEALES. Se llaman funciones lineales a aquellas que se representan mediante rectas. Su epresión en forma eplícita es y f ( ) a b. En sentido más estricto, se llaman funciones

Más detalles

Tema 7. Límites y continuidad de funciones

Tema 7. Límites y continuidad de funciones Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Análisis: Límites y continuidad de funciones 55 Límite de una función en un punto Tema 7 Límites y continuidad de funciones Idea inicial Si una función f está

Más detalles

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Capítulo 7 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 7.1. Introducción Se denomina ecuación lineal a aquella que tiene la forma de un polinomio de primer grado, es decir, las incógnitas no están elevadas a potencias,

Más detalles

EJERCICIOS SOBRE : NÚMEROS ENTEROS

EJERCICIOS SOBRE : NÚMEROS ENTEROS 1.- Magnitudes Absolutas y Relativas: Se denomina magnitud a todo lo que se puede medir cuantitativamente. Ejemplo: peso de un cuerpo, longitud de una cuerda, capacidad de un recipiente, el tiempo que

Más detalles

CÁLCULOS MECÁNICOS DE LAS ESTRUCTURAS SOPORTES DE ANTENAS

CÁLCULOS MECÁNICOS DE LAS ESTRUCTURAS SOPORTES DE ANTENAS CÁLCULOS MECÁNICOS DE LAS ESTRUCTURAS SOPORTES DE ANTENAS SISTEMA TERRENAL Normas generales Las antenas para la captación de las señales terrenales se montarán sobre mástil o torreta, bien arriostradas

Más detalles

Predimensionado de vigas. Prof. Argimiro Castillo Gandica

Predimensionado de vigas. Prof. Argimiro Castillo Gandica Predimensionado de vigas Prof. Argimiro Castillo Gandica Teoría Fundamental Los principios fundamentales del predimensionado de vigas lo comprende: Teoría de la flexión: explica las relaciones entre las

Más detalles

1 Estática Básica Prohibida su reproducción sin autorización. CONCEPTOS DE FISICA MECANICA. Conceptos de Física Mecánica

1 Estática Básica Prohibida su reproducción sin autorización. CONCEPTOS DE FISICA MECANICA. Conceptos de Física Mecánica 1 CONCEPTOS DE FISICA MECANICA Introducción La parte de la física mecánica se puede dividir en tres grandes ramas de acuerdo a lo que estudia cada una de ellas. Así, podemos clasificarlas según lo siguiente:

Más detalles

Tipo A Tipo B Min. y Máx. Gambas 2 1 50 Langostinos 3 5 180 Contenedores 1 1 50 Coste 350 550 350x + 550y

Tipo A Tipo B Min. y Máx. Gambas 2 1 50 Langostinos 3 5 180 Contenedores 1 1 50 Coste 350 550 350x + 550y IES Fco Ayala de Granada Sobrantes 010 (Modelo 6) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna MATEMÁTICAS CCSS II Sobrantes 010 (Modelo 6) SELECTIVIDAD ANDALUCÍA OPCIÓN A EJERCICIO 1 (.5 puntos) Un supermercado

Más detalles

1. Ecuaciones no lineales

1. Ecuaciones no lineales 1. Ecuaciones no lineales 1.1 Ejercicios resueltos Ejercicio 1.1 Dada la ecuación xe x 1 = 0, se pide: a) Estudiar gráficamente sus raíces reales y acotarlas. b) Aplicar el método de la bisección y acotar

Más detalles

Apuntes de Matemática Discreta 9. Funciones

Apuntes de Matemática Discreta 9. Funciones Apuntes de Matemática Discreta 9. Funciones Francisco José González Gutiérrez Cádiz, Octubre de 004 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas ii Lección 9 Funciones Contenido 9.1 Definiciones y

Más detalles

Caja Castilla La Mancha CCM

Caja Castilla La Mancha CCM CCM Caja Castilla La Mancha .INTRODUCCION El hormigón armado es un material compuesto que surge de la unión de hormigón en masa con armadura de acero, con el fin de resolver el problema de la casi nula

Más detalles

Funciones más usuales 1

Funciones más usuales 1 Funciones más usuales 1 1. La función constante Funciones más usuales La función constante Consideremos la función más sencilla, por ejemplo. La imagen de cualquier número es siempre 2. Si hacemos una

Más detalles

XLIV Olimpiada Matemática Española Fase nacional 2008 (Valencia) PRIMERA SESIÓN (28 de marzo)

XLIV Olimpiada Matemática Española Fase nacional 2008 (Valencia) PRIMERA SESIÓN (28 de marzo) Fase nacional 008 (Valencia) PRIMERA SESIÓN (8 de marzo).- Halla dos enteros positivos a y b conociendo su suma y su mínimo común múltiplo. Aplícalo en el caso de ue la suma sea 97 y el mínimo común múltiplo

Más detalles

VECTORES. Módulo, dirección y sentido de un vector fijo En un vector fijo se llama módulo del mismo a la longitud del segmento que lo define.

VECTORES. Módulo, dirección y sentido de un vector fijo En un vector fijo se llama módulo del mismo a la longitud del segmento que lo define. VECTORES El estudio de los vectores es uno de tantos conocimientos de las matemáticas que provienen de la física. En esta ciencia se distingue entre magnitudes escalares y magnitudes vectoriales. Se llaman

Más detalles

PROGRAMACIÓN LINEAL. 8.1. Introducción. 8.2. Inecuaciones lineales con 2 variables

PROGRAMACIÓN LINEAL. 8.1. Introducción. 8.2. Inecuaciones lineales con 2 variables Capítulo 8 PROGRAMACIÓN LINEAL 8.1. Introducción La programación lineal es una técnica matemática relativamente reciente (siglo XX), que consiste en una serie de métodos y procedimientos que permiten resolver

Más detalles

CONFERENCIA CIMENTACIONES EN ANTONIO BLANCO BLASCO

CONFERENCIA CIMENTACIONES EN ANTONIO BLANCO BLASCO CONFERENCIA CIMENTACIONES EN EDIFICACIONES ANTONIO BLANCO BLASCO LAS CIMENTACIONES SON ELEMENTOS ESTRUCTURALES QUE TIENEN COMO FUNCIÓN TRANSMITIR LAS CARGAS Y MOMENTOS DE UNA EDIFICACIÓN HACIA EL SUELO,

Más detalles

CAPITULO 3. Aplicaciones de la Derivada. Licda. Elsie Hernández Saborío. Instituto Tecnológico de Costa Rica. Escuela de Matemática

CAPITULO 3. Aplicaciones de la Derivada. Licda. Elsie Hernández Saborío. Instituto Tecnológico de Costa Rica. Escuela de Matemática CAPITULO Aplicaciones de la Derivada Licda. Elsie Hernández Saborío Instituto Tecnológico de Costa Rica Escuela de Matemática Créditos Primera edición impresa: Rosario Álvarez, 1988. Edición Latex: Marieth

Más detalles

Ejemplos y problemas resueltos de análisis complejo (2014-15)

Ejemplos y problemas resueltos de análisis complejo (2014-15) Variable Compleja I (3 o de Matemáticas y 4 o de Doble Titulación) Ejemplos y problemas resueltos de análisis complejo (04-5) Teoremas de Cauchy En estos apuntes, la palabra dominio significa, como es

Más detalles

CÁLCULO PARA LA INGENIERÍA 1

CÁLCULO PARA LA INGENIERÍA 1 CÁLCULO PARA LA INGENIERÍA 1 PROBLEMAS RESUELTOS Tema 3 Derivación de funciones de varias variables 3.1 Derivadas y diferenciales de funciones de varias variables! 1. Derivadas parciales de primer orden.!

Más detalles

Escuela Superior Tepeji del Río

Escuela Superior Tepeji del Río Escuela Superior Tepeji del Río Área Académica: Ingenieria Industrial Asignatura: Resistencia de los Materiales Profesor(a):Miguel Ángel Hernández Garduño Periodo: Julio- Diciembre 2011 Asignatura: Resistencia

Más detalles

TEMA 1: DISEÑO Y DIBUJO DE OBJETOS.

TEMA 1: DISEÑO Y DIBUJO DE OBJETOS. TEMA 1: DISEÑO Y DIBUJO DE OBJETOS. Francisco Raposo Tecnología 3ºESO 1. LA REPRESENTACIÓN DE OBJETOS 1.1.EL DIBUJO TÉCNICO Es una de las técnicas que se utilizan para describir un objeto, con la intención

Más detalles

Ejemplo 1.2 En el capitulo anterior se demostró que el conjunto. V = IR 2 = {(x, y) : x, y IR}

Ejemplo 1.2 En el capitulo anterior se demostró que el conjunto. V = IR 2 = {(x, y) : x, y IR} Subespacios Capítulo 1 Definición 1.1 Subespacio Sea H un subconjunto no vacio de un espacio vectorial V K. Si H es un espacio vectorial sobre K bajo las operaciones de suma y multiplicación por escalar

Más detalles

DOMINIO Y RANGO página 89. Cuando se grafica una función existen las siguientes posibilidades:

DOMINIO Y RANGO página 89. Cuando se grafica una función existen las siguientes posibilidades: DOMINIO Y RANGO página 89 3. CONCEPTOS Y DEFINICIONES Cuando se grafica una función eisten las siguientes posibilidades: a) Que la gráfica ocupe todo el plano horizontalmente (sobre el eje de las ). b)

Más detalles

MATEMÁTICAS CCSS II Sobrantes 2010 (Modelo 1) SELECTIVIDAD ANDALUCÍA OPCIÓN A EJERCICIO 1

MATEMÁTICAS CCSS II Sobrantes 2010 (Modelo 1) SELECTIVIDAD ANDALUCÍA OPCIÓN A EJERCICIO 1 IES Fco Ayala de Granada Sobrantes 010 (Modelo ) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna MATEMÁTICAS CCSS II Sobrantes 010 (Modelo 1) SELECTIVIDAD ANDALUCÍA OPCIÓN A EJERCICIO 1 a 1 1 1 3 Sean las matrices

Más detalles

Trabajar los esfuerzos a los que se ve sometida una viga con la ayuda de la calculadora gráfica

Trabajar los esfuerzos a los que se ve sometida una viga con la ayuda de la calculadora gráfica DP. - S - 5119-2007 UL MTEMÁTIC DIGITL Trabajar los esfuerzos a los que se ve sometida una viga con la ayuda de la calculadora gráfica Rosana Álvarez García Profesora de Tecnología del I.E.S. lfonso II"

Más detalles

Unidad 6 Estudio gráfico de funciones

Unidad 6 Estudio gráfico de funciones Unidad 6 Estudio gráfico de funciones PÁGINA 96 SOLUCIONES Representar puntos en un eje de coordenadas. 178 Evaluar un polinomio. a) b) c) d) e) Escribir intervalos. a) b) c) 179 PÁGINA 98 SOLUCIONES 1.a)

Más detalles

Colegio Las Tablas Tarea de verano Matemáticas 3º ESO

Colegio Las Tablas Tarea de verano Matemáticas 3º ESO Colegio Las Tablas Tarea de verano Matemáticas º ESO Nombre: C o l e g i o L a s T a b l a s Tarea de verano Matemáticas º ESO Resolver la siguiente ecuación: 5 5 6 Multiplicando por el mcm(,,6) = 6 y

Más detalles

Física P.A.U. ELECTROMAGNETISMO 1 ELECTROMAGNETISMO. F = m a

Física P.A.U. ELECTROMAGNETISMO 1 ELECTROMAGNETISMO. F = m a Física P.A.U. ELECTOMAGNETISMO 1 ELECTOMAGNETISMO INTODUCCIÓN MÉTODO 1. En general: Se dibujan las fuerzas que actúan sobre el sistema. Se calcula la resultante por el principio de superposición. Se aplica

Más detalles

TEORÍA TEMA 9. 2. Definición de ESFUERZOS CARACTERÍSTICOS ( Mf.; Q; N)

TEORÍA TEMA 9. 2. Definición de ESFUERZOS CARACTERÍSTICOS ( Mf.; Q; N) 1. Definición de Viga de alma llena TEORÍA TEMA 9 2. Definición de ESFUERZOS CARACTERÍSTICOS ( Mf.; Q; N) 3. Determinación de los esfuerzos característicos i. Concepto de Polígonos de Presiones ii. Caso

Más detalles

DERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN. APLICACIONES

DERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN. APLICACIONES UNIDAD 6 DERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN. APLICACIONES Página 5 Problema y f () 5 5 9 Halla, mirando la gráfica y las rectas trazadas, f'(), f'(9) y f'(). f'() 0; f'(9) ; f'() Di otros tres puntos en

Más detalles

BASES Y DIMENSIÓN. Propiedades de las bases. Ejemplos de bases.

BASES Y DIMENSIÓN. Propiedades de las bases. Ejemplos de bases. BASES Y DIMENSIÓN Definición: Base. Se llama base de un espacio (o subespacio) vectorial a un sistema generador de dicho espacio o subespacio, que sea a la vez linealmente independiente. β Propiedades

Más detalles

Tema 07. LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES

Tema 07. LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES Tema 07 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES Límite de una función en un punto Vamos a estudiar el comportamiento de las funciones f ( ) g ( ) ENT[ ] h ( ) i ( ) en el punto Para ello, damos a valores próimos

Más detalles

UNIDAD 1 LAS LEYES FINANCIERAS DE CAPITALIZACIÓN DESCUENTO

UNIDAD 1 LAS LEYES FINANCIERAS DE CAPITALIZACIÓN DESCUENTO - 1 - UNIDAD 1 LAS LEYES FINANCIERAS DE CAPITALIZACIÓN Y DESCUENTO Tema 1: Operaciones financieras: elementos Tema 2: Capitalización y descuento simple Tema 3: Capitalización y descuento compuesto Tema

Más detalles

1.- Explica por qué los cuerpos cargados con cargas de distinto signo se atraen, mientras que si las cargas son del mismo signo, se repelen.

1.- Explica por qué los cuerpos cargados con cargas de distinto signo se atraen, mientras que si las cargas son del mismo signo, se repelen. Física 2º de Bachillerato. Problemas de Campo Eléctrico. 1.- Explica por qué los cuerpos cargados con cargas de distinto signo se atraen, mientras que si las cargas son del mismo signo, se repelen. 2.-

Más detalles

GEOMETRÍA DESCRIPTIVA SISTEMAS DE PROYECCIÓN

GEOMETRÍA DESCRIPTIVA SISTEMAS DE PROYECCIÓN GEOMETRÍA DESCRIPTIVA La Geometría Descriptiva es la ciencia de representación gráfica, sobre superficies bidimensionales, de los problemas del espacio donde intervengan, puntos, líneas y planos. La Geometría

Más detalles

Cálculos mecánicos para líneas eléctricas

Cálculos mecánicos para líneas eléctricas Rincón Técnico Cálculos mecánicos para líneas eléctricas Autores: El contenido de este artículo es un extracto tomado del portal http://patricioconcha.ubb.cl/ Elaboración técnica: Esta publicación ha sido

Más detalles

Comprobación de una viga biapoyada de hormigón armado con sección rectangular

Comprobación de una viga biapoyada de hormigón armado con sección rectangular Comprobación de una viga biapoyada de hormigón armado con sección rectangular J. Alcalá * V. Yepes Enero 2014 Índice 1. Introducción 2 2. Descripción del problema 2 2.1. Definición geométrica........................

Más detalles

Sistemas de representación: Planos Acotados. Ejercicios.

Sistemas de representación: Planos Acotados. Ejercicios. Sistemas de representación: Planos Acotados. Ejercicios. Las proyecciones de los puntos A'(3) y C'(8) son los extremos de uno de los diámetros de una circunferencia de 60 mm. de φ. La pendiente de

Más detalles

Segundo de Bachillerato Geometría en el espacio

Segundo de Bachillerato Geometría en el espacio Segundo de Bachillerato Geometría en el espacio Jesús García de Jalón de la Fuente IES Ramiro de Maeztu Madrid 204-205. Coordenadas de un vector En el conjunto de los vectores libres del espacio el concepto

Más detalles

[c] Qué energía mecánica posee el sistema muelle-masa? Y si la masa fuese 2 y la constante 2K?.

[c] Qué energía mecánica posee el sistema muelle-masa? Y si la masa fuese 2 y la constante 2K?. Actividad 1 La figura representa un péndulo horizontal de resorte. La masa del bloque vale M y la constante elástica del resorte K. No hay rozamientos. Inicialmente el muelle está sin deformar. [a] Si

Más detalles

MATEMÁTICAS CCSS II Sobrantes 2010 (Modelo 1) SELECTIVIDAD ANDALUCÍA

MATEMÁTICAS CCSS II Sobrantes 2010 (Modelo 1) SELECTIVIDAD ANDALUCÍA IES Fco Ayala de Granada Sobrantes 00 (Modelo ) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna MATEMÁTICAS CCSS II Sobrantes 00 (Modelo ) SELECTIVIDAD ANDALUCÍA OPCIÓN A EJERCICIO Sea el recinto del plano definido

Más detalles

1. Producto escalar, métrica y norma asociada

1. Producto escalar, métrica y norma asociada 1. asociada Consideramos el espacio vectorial R n sobre el cuerpo R; escribimos los vectores o puntos de R n, indistintamente, como x = (x 1,..., x n ) = n x i e i i=1 donde e i son los vectores de la

Más detalles

FUNCIONES 1. DEFINICION DOMINIO Y RANGO

FUNCIONES 1. DEFINICION DOMINIO Y RANGO 1. DEFINICION DOMINIO Y RANGO FUNCIONES Antes de definir función, uno de los conceptos fundamentales y de mayor importancia de todas las matemáticas, plantearemos algunos ejercicios que nos eran de utilidad

Más detalles

15 ESTADÍSTICA BIDIMENSIONAL

15 ESTADÍSTICA BIDIMENSIONAL ESTADÍSTICA BIDIMENSINAL EJERCICIS PRPUESTS. Copia y completa la siguiente tabla. A B C Total A B C Total a 4 b c 0 7 Total 7 6 a 4 b c 4 3 0 7 Total 7 6 3 6 a) Qué porcentaje de datos presentan la característica

Más detalles

3.1 DEFINICIÓN. Figura Nº 1. Vector

3.1 DEFINICIÓN. Figura Nº 1. Vector 3.1 DEFINICIÓN Un vector (A) una magnitud física caracterizable mediante un módulo y una dirección (u orientación) en el espacio. Todo vector debe tener un origen marcado (M) con un punto y un final marcado

Más detalles

Mecánica. Ingeniería Civil. Curso 11/12

Mecánica. Ingeniería Civil. Curso 11/12 Mecánica. Ingeniería ivil. urso / ) eterminar la dirección θ del cable y la tensión F que se requiere para que la fuerza resultante sobre el bidón de la figura sea vertical hacia arriba de módulo 800 N.

Más detalles

Problemas Resueltos de Desigualdades y Programación Lineal

Problemas Resueltos de Desigualdades y Programación Lineal Universidad de Sonora División de Ciencias Exactas y Naturales Departamento de Matemáticas. Problemas Resueltos de Desigualdades y Programación Lineal Para el curso de Cálculo Diferencial de Químico Biólogo

Más detalles

MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas

MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Tema 3 Ecuaciones y sistemas. Inecuaciones Elaborado por la Profesora Doctora

Más detalles

2. Vector tangente y gráficas en coordenadas polares.

2. Vector tangente y gráficas en coordenadas polares. GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL CURSO 0 Vector tangente y gráficas en coordenadas polares De la misma forma que la ecuación cartesiana y = yx ( ) define una curva en el plano, aquella formada por los

Más detalles

MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas

MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Tema 4 La recta en el plano Elaborado por la Profesora Doctora María Teresa

Más detalles

PROBLEMAS Física 2º Bachillerato CAMPO GRAVITATORIO

PROBLEMAS Física 2º Bachillerato CAMPO GRAVITATORIO PROBLEMAS Física 2º Bachillerato CAMPO GRAVITATORIO 1) Si la velocidad de una partícula es constante Puede variar su momento angular con el tiempo? S: Si, si varía el valor del vector de posición. 2) Una

Más detalles

VECTOR DE CARGAS GENERALIZADAS Q

VECTOR DE CARGAS GENERALIZADAS Q CAPITULO VECTO DE CAGAS GENEALIZADAS Q ESUMEN Se presenta el cálculo del vector de cargas generalizadas Q en marcos y armaduras planas cuyos elementos pueden ser: totalmente flexibles transversalmente

Más detalles

TEMA 5 MOMENTO DE INERCIA. RADIO DE GIRO Y MOMENTO RESISTENTE.

TEMA 5 MOMENTO DE INERCIA. RADIO DE GIRO Y MOMENTO RESISTENTE. TEMA 5 MOMENTO DE INERCIA. RADIO DE GIRO Y MOMENTO RESISTENTE. 1. DEFINICIÓN. El momento de inercia de un cuerpo expresa los efectos producidos por los cuerpos en movimiento. Está relacionado con las masas

Más detalles

Factorización de polinomios

Factorización de polinomios Factorización de polinomios Polinomios Un polinomio p en la variable x es una expresión de la forma: px a 0 a 1 x a x a n1 x n1 a n x n donde a 0, a 1, a,, a n1, a n son unos números, llamados coeficientes

Más detalles

IES Menéndez Tolosa. La Línea de la Concepción. 1 Es posible que un cuerpo se mueva sin que exista fuerza alguna sobre él?

IES Menéndez Tolosa. La Línea de la Concepción. 1 Es posible que un cuerpo se mueva sin que exista fuerza alguna sobre él? IES Menéndez Tolosa. La Línea de la Concepción 1 Es posible que un cuerpo se mueva sin que exista fuerza alguna sobre él? Si. Una consecuencia del principio de la inercia es que puede haber movimiento

Más detalles

Sistemas de vectores deslizantes

Sistemas de vectores deslizantes Capítulo 1 Sistemas de vectores deslizantes 1.1. Vectores. Álgebra vectorial. En Física, se denomina magnitud fsica (o simplemente, magnitud) a todo aquello que es susceptible de ser cuantificado o medido

Más detalles

Tema 3. Problemas de valores iniciales. 3.1. Teoremas de existencia y unicidad

Tema 3. Problemas de valores iniciales. 3.1. Teoremas de existencia y unicidad Tema 3 Problemas de valores iniciales 3.1. Teoremas de existencia y unicidad Estudiaremos las soluciones aproximadas y su error para funciones escalares, sin que ésto no pueda extenderse para funciones

Más detalles

EXAMEN FÍSICA 2º BACHILLERATO TEMA 1: CAMPO GRAVITATORIO

EXAMEN FÍSICA 2º BACHILLERATO TEMA 1: CAMPO GRAVITATORIO INSTRUCCIONES GENERALES Y VALORACIÓN La prueba consiste de dos opciones, A y B, y el alumno deberá optar por una de las opciones y resolver las tres cuestiones y los dos problemas planteados en ella, sin

Más detalles
SitemapСемейный | Digital Photo (8) | HD Night School (2018)